lineynaya_algebra

пространство. Длина (норма) вектора. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный базисы. ([1 или 5, § 3.1 – 3.3, 3.5 – 3.8]; [2 или 6, § 3.1 – 3.5], или [3, § 3.1–3.3, 3.5−3.8, 3.10 – 3.14], или [4, §

3.1– 3.3, 3.6, 3.8, 3.10, 3.11, 3.13, 3.15–3.20]).

Вшкольном курсе математики рассматривалось понятие вектора как

направленного отрезка, т.е. множества точек, заключенных между двумя точками прямой с указанным направлением. Там же определялись операции над векторами (сложение, вычитание, умножение вектора на число), вводились координаты и понятие длины вектора.

Множества всех плоских и пространственных векторов, для которых определены операции сложения и умножения, а также умножения вектора на число, являются простейшими примерами векторных (линейных) пространств. В данной теме обобщается понятие вектора и дается определение векторного пространства, являющегося основным объектом линейной алгебры.

Следует отметить, что понятие линейной комбинации, линейной зависимости и независимости векторов вводится точно так же, как это было сделано в теме 1 для строк (столбцов) матрицы. Обращаем внимание на то, что векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из векторов можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов. А если среди векторов есть нулевой вектор, то такие векторы всегда линейно зависимы.

Нужно четко знать понятие базиса n-мерного пространства, представляющего совокупность его n линейно независимых векторов. При этом любой вектор линейного пространства может быть представлен единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.

Надо уяснить, что, например, три пространственных (два плоских) вектора могут образовать базис, если они некомпланарны (неколлинеарны). Если же они компланарны, т.е. лежат в одной плоскости (коллинеарны, т.е. лежат на одной прямой), то любая их линейная комбинация представляет вектор, лежащий в той же плоскости (на той же прямой), следовательно, по таким векторам не может быть разложен другой вектор, не лежащий в той же плоскости (на той же прямой), а это значит, что компланарные (коллинеарные) векторы базис трехмерного (двумерного) пространства не образуют.

Векторное пространство, как отмечено выше, представляет множество векторов, в которых определены операции сложения векторов и

11

умножения вектора на число, но не определен способ измерения длин векторов и углов между ними. Это становится возможным с введением скалярного произведения векторов и непосредственно связанного с ним понятия евклидова пространства.

Скалярное произведение двух векторов надо знать в двух формах (как произведение длин двух векторов на косинус угла между ними и как сумма произведений соответствующих координат (компонент) этих векторов). Обратите внимание на приведенные с решениями задачи [1, или

5, или 3, примеры 3.1– 3.3].

В конце темы вводятся понятия ортогональных векторов. Это позволяет в евклидовом пространстве выделить среди всех базисов ортогональные и ортонормированные базисы, которые более удобны и играют в линейной алгебре роль, аналогичную прямоугольной (декартовой) системе координат в аналитической геометрии (см. тему 6).

Тема 4. Линейные операторы

Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов. Матрица линейного оператора в заданном базисе. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы). Характеристический многочлен матрицы. Диагональный вид матрицы линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов. ([1 или 5, § 3.6, 3.7]; [2 или 6, § 3.3, 3.4], или [3, § 3.6, 3.7, 3.12,3.13], или [4, § 3.8, 3.10, 3.18, 3.19]).

.

В этой теме рассматривается одно из базовых понятий линейной алгебры – понятие линейного оператора (преобразования, отображения), представляющего закон (правило), по которому каждому вектору х n- мерного пространства Rn ставится в соответствие один вектор y m-мерного пространства Rm . При m = n оператор обращает Rn в себя.

Линейность оператора определяется выполнением свойств аддитивности и однородности оператора [1, или 5, или 3, § 3.6]. Нужно

помощью этой матрицы для любого вектора х можно найти его образ – вектор y.

12

Особую роль в приложениях линейной алгебры играют векторы,

которые под воздействием линейного оператора ~ преобразуются в новые

A

векторы, коллинеарные исходным. Такие векторы получили название

собственных векторов оператора ~ (матрицы А), а соответствующие им

A

определения и нахождение собственных векторов и значений приведены в

[1, или 5, или 3, пример 3.7].

Если базис линейного оператора составить из собственных векторов, то матрица оператора имеет наиболее простой вид и представляет собой диагональную матрицу, а соответствующая операция называется приведением данной матрицы к диагональному виду ([1, или 5, или 3, пример 3.8]).

Тема 5. Квадратичные формы

Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Матричная форма записи квадратичной формы.. Канонический вид и ранг квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная квадратичные формы. Критерий определенности квадратичной формы через собственные значения ее матрицы. Критерий Сильвестра. ([1 или 5, § 3.8]; [2 или 6, § 3.5], или [3, § 3.8, 3.14], или [4, § 3.11, 3.13, 3.20]).

Квадратичные формы достаточно часто возникают при решении прикладных задач. Если в n-мерном линейном пространстве выбрать

Необходимо знать определение и матричную запись квадратичной формы, ее канонический вид. Уметь приводить в простых случаях квадратичную форму к каноническому виду, имея в виду, что это возможно сделать многими способами, но ранг квадратичной формы при этом не меняется.

Студент должен владеть двумя способами исследования на знакоопределенность квадратичной формы (с помощью собственных значений ее матрицы и критерия Сильвестра). Например, очевидно, что

квадратичная форма L = 2x12 − 4x1 x2 + 5x22 (т.е. L = 2(x1 − x2 )2 + 3x22 ) является знакоположительной. В этом можно убедиться с помощью отмеченных

13

знаку собственные значения λ1 = −2 и λ2 = 4 , а угловые миноры 1 = 1 = 1 ,

3.110]).

Тема 6. Элементы аналитической геометрии

Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой. Общее уравнение прямой и его исследование. Построение прямой по ее уравнению. Уравнение прямой, проходящей: а) через данную точку в данном направлении; б) через две данные точки. Координаты точки пересечения двух прямых. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы. Уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение прямой как пересечение двух плоскостей. Канонические уравнения прямой в пространстве. Углы между плоскостями, прямыми, прямой и плоскостью. ([1 или 5, § 4.1 – 4.7]; [2 или

6, § 4.1 – 4.3], или [3, § 4.2 – 4.6, 4.8 – 4.10, 4.12], или [4, § 4.2 – 4.6, 4.8 , 4.12, 4.13, 4.15].

По используемым методам аналитическая геометрия существенно отличается от элементарной геометрии. Применение основного метода аналитической геометрии – метода координат позволяет значительно продвинуть вперед изучение геометрических образов, исследовать линии и поверхности, важные для практических приложений.

Важнейшим понятием аналитической геометрии является уравнение линии на плоскости, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. Из этого определения следует два важных для практики положения.

14

1.Если задано уравнение линии, то можно установить, принадлежит ли ей какая-либо точка плоскости. Для этого достаточно подставить координаты точки в уравнение линии вместо переменных x и y. Если окажется, что они удовлетворяют уравнению, то точка принадлежит линии, в противном случае – не принадлежит.

2.Координаты точки пересечения двух линий, заданных своими уравнениями, удовлетворяют обоим уравнениям. Поэтому для нахождения координат точки пересечения двух линий нужно решить систему, составленную из их уравнений.

Следует отметить, что решение задач в аналитической геометрии проводится алгебраическим путем и никакие ссылки не чертеж не могут служить обоснованием решения задачи. Чертежи и геометрические построения служат вспомогательным средством, облегчающим решение задачи, делающим его наглядным, помогающим наметить план решения задачи. Поэтому рекомендуется сопровождать решение чертежами.

Из всех линий прямая линия имеет особое значение. Она (и ее обобщение в n-мерном пространстве) является графиком линейной функции, используемой в наиболее часто встречающихся на практике линейных экономико-математических моделях, которые будут изучаться в курсах «Методы оптимальных решений», «Исследование операций».

Студент должен знать уравнения прямой с угловым коэффициентом

иначальной ординатой и его частные случаи; уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении и через две данные точки, общее уравнение прямой [1, или 5, или 3, § 4.1]. Обратите внимание на условия параллельности и перпендикулярности прямых; на нахождение уравнения прямых; параллельной и перпендикулярной данной прямой [1, или 5, или 3, пример 4.5].

Изучая кривые второго порядка, следует иметь в виду, что любая из этих кривых выражается уравнением второй степени

Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, (*)

которое определяет окружность, эллипс, гиперболу или параболу в зависимости от соотношений между его коэффициентами. В то же время не каждое уравнение (*) (при условии А2+В2+С2≠0) определяет кривую второго порядка (например, уравнение х2+y2+1=0 не определяет никакой линии, уравнение х2+y2=0 определяет единственную точку (0;0),, уравнение х2‒y2=0 задает две пересекающиеся в начале координат прямые х‒y=0 и

х+y=0 и т.п.

15

Студенту надо знать нормальное уравнение окружности, канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы, геометрический смысл их параметров. Уметь приводить уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, используя операцию «выделения полного квадрата» ( см. [1, или 5, или 3, примеры 4.7, 4.8]), а также находить точки пересечения различных линий (например, кривой второго порядка и прямой).

Обобщением уравнения прямой на плоскости является уравнение плоскости в пространстве (обобщением которого, в свою очередь, является уравнение гиперплоскости в n-мерном пространстве, рассматриваемое в прикладных математических курсах). Надо знать смысл его коэффициентов А, В, С (как координат нормального вектора плоскости) и частные случаи уравнения плоскости. Например, уравнение

совпадающей с плоскостью Oxz, Вy = 0 , т.е. y = 0 , ( A = C = D = 0 ) и т.д. Уравнение прямой в пространстве рассматривается в двух формах –

как линии пересечения двух плоскостей и в виде канонических уравнений. Обращаем внимание на то, что направление плоскости и прямой определяются соответственно нормальным и направляющим векторами, поэтому углы между двумя плоскостями, двумя прямыми, прямой и плоскостью сводятся к определению углов (дополнительных углов) между этими векторами. Отсюда вытекают условия параллельности и

перпендикулярности двух плоскостей, прямых, прямой и плоскости. Основные типы задач на прямую и плоскость в пространстве

представлены задачами с решениями [1 или 5, примеры 4.87 – 4.92] или [3, примеры 4.108 – 4.113]. Решение отдельных задач предполагает знание скалярного произведения двух векторов (но не требует знания векторного и смешанного произведения векторов, не входящими в программу).

16

16.Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса в евклидовом пространстве.

17.Определение оператора. Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов.

18.Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом у. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы.

(матрицы А). Характеристический многочлен оператора и его характеристическое уравнение.

20.Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных значений. Пример.

21.Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы. Пример.

22.Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Пример. Закон инерции квадратичных форм.

23.Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная квадратичные формы. Критерии знакоопределенности квадратичной формы (через собственные значения ее матрицы и по критерию Сильвестра).

24.Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).

25.Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

26.Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический смысл параметров окружности и эллипса.

27.Канонические уравнения гиперболы и параболы. Геометрический смысл их параметров. Уравнение асимптот гиперболы. График обратнопропорциональной зависимости и квадратного трехчлена.

28.Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Нормальный вектор плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

29.Уравнения прямой линии в пространстве как линии пересечения двух плоскостей. Канонические уравнения прямой. Направляющий вектор прямой. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

30.Углы между двумя плоскостями, двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Условия их параллельности и перпендикулярности.

18

Задачи для самоподготовки

Ниже приводятся номера рекомендуемых задач с решениями и для самостоятельного выполнения по учебникам [1или 5], практикумам [2 или 6], или учебнику [3], или учебнику [4], рассматриваемых в качестве основной литературы.

Студентам рекомендуется в первую очередь разобрать большинство (часть) задач с решениями (их номера выделены жирным шрифтом). Задачи для самостоятельного выполнения (их номера набраны обычным шрифтом) решать выборочно (в зависимости от лимита времени – например, каждую вторую задачу из списка задач по теме, или каждую третью, и т.д.).

Кроме того, уровень усвоения материала можно проверить по приводимым в практикумах [2или 6], или учебнике [3], или учебнике [4], тематическим и итоговым контрольным заданиям и тестам, решая задания в соответствии с учебно – программным материалом по каждой теме.

19

|

20