linalgebra

(2)форма q отрицательно определена тогда и только тогда, когда все угловые миноры не равны нулю, причем

∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 < 0, ∆4 > 0, . . .

Пример 13.7. Рассмотрим квадратичную форму q = −x21 − 4x1x2 − 5x22 + 2x2x3 − 2x23. Матрицей этой формы является

Пример 13.8. Рассмотрим квадратичную форму q = −x21 − 4x1x2. Матрицей этой формы

По критерию Сильвестра отсюда следует, что форма q не является положительно определенной и не является отрицательно определенной.

14. Квадратичные формы в евклидовом пространстве

Оказывается, в евклидовом пространстве для всякой квадратичной формы можно найти ортонормированный базис в котором матрица этой формы диагональна. Такой базис называют каноническим ортонормированным базисом . В этом параграфе мы укажем ал-

горитм для нахождения канонического ортонормированного базиса для квадратичной формы в Rn.

Итак, пусть q - квадратичная форма в Rn,

- матрица квадратичной формы q в стандартном базисе пространства Rn.

4-é шаг. Базис f1, f2 - искомый. В этом базисе матрица формы q имеет вид

()

Дополнение 1. Формулы перехода

Пусть V векторное пространство размерности n и пусть e1, e2, . . . , en è f1, f2, . . . , fn

базисы пространства V . Разложим векторы второго базиса по векторам первого базиса:

èиз коэффициентов этих разложений образуем матрицу

(коэффициенты разложения вектора fk образуют k-ый столбец матрицы A). Матрицу A

называют матрицей перехода от базиса e1, . . . , en к базису f1, . . . , fn. Пусть

обратная к A матрица.

Лемма 14.3. Матрицей перехода от базиса f1, . . . , fn к базису e1, . . . , en является матрица A−1, òî åñòü,

Матрицы Φ и Ψ называют подобными, если существует матрица A такая, что

Лемма 14.6. Характеристические многочлены подобных матриц совпадают.

Доказательство. Имеем:

χ (λ) = det(Ψ − λ) = det(A−1ΦA − λ) = det(A−1(Φ − λ)A) = det(A−1) det(Φ − λ) det(A) = det(Φ − λ) = χ (λ).

Характеристическим многочленом оператора φ называют

χ (λ) := det(Φ − λE),

где Φ матрица оператора φ в базисе e1, . . . , en. Из лемм 14.5 и 14.6 следует, что харак-

теристический многочлен оператора определен корректно, то есть его можно вычислять используя матрицу оператора в произвольном базисе.

Рассмотрим квадратичную форму

q : V → R.

Лемма 14.7. Пусть Q матрица квадратичной формы q в базисе e1, . . . , en è R матрица квадратичной формы q в базисе f1, . . . , fn. Тогда

R = AQA .

Доказательство. Пусть x1, . . . , xn координаты вектора v V в базисе e1, . . . , en è

y1, . . . , yn координаты этого же вектора v в базисе f1, . . . , fn. Рассмотрим строки x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn)

С одной стороны,

Дополнение 2. Ортогональные матрицы

Матрица A называется ортогональной, если ее строки образуют ортонормированную систему векторов. Нетрудно заметить, что матрица A ортогональна тогда и только тогда, когда она удовлетворяет матричному уравнению

(14.11) A · A = E.

Лемма 14.8. Определитель ортогональной матрицы равен ±1.

Доказательство. Возьмем определители правой и левой частей равенства (14.11) и получим

Учитывая, что

•det(E) = 1,

•det(A · A ) = det(A) det(A ) (определитель произведения матриц равен произведению определителей),

• det(A ) = det(A) (при транспонировании матрицы ее определитель не меняется) из (14.12) получаем

Следствие 14.9. Ортогональная матрица невырождена.

Дополнение 3. Словарь некоторых терминов

Система линейных уравнений [system of linear equations].

Совместная (несовместная) система линейных уравнений [consistent (inconsistent) system of linear equations].

Однородная (неоднородная) система линейных уравнений [homogeneous (inhomogeneous) system of linear equations].

Однородная система B, соответствующая системе A [homogeneous system B associated to system A].

Частное решение [particular solution].

Элементарные преобразования системы по строкам [elementary row operations]. Ступенчатый вид [echelon form].

Приведенный ступенчатый вид [reduced echelon form]. Главное неизвестное [pivot unknown].

Свободное неизвестное [free unknown].

Общее решение системы линейных уравнений [не имеет аналога на английском]. Общее решение это формулы, выражающие главные неизвестные через свободные.

Векторное пространство [vector space]. Нередко используют неправильное название "линейное пространство".

Линейное подпространство [subspace].

n-мерное координатное пространство [ n-dimensional coordinate space]. Нередко используют неправильно название "n-мерное арифметическое пространство".

Система векторов [list of vectors].

Фундаментальная система решений [не имеет аналога на английском]. Фундаментальная система решений это базис пространства решений системы однородных линейных уравнений.

Скалярное произведение [inner product]

Евклидово пространство = пространство со скалярным произведением [inner product

space]

Стандартное скалярное произведение в Rn [scalar product, dot product]

Формулы перехода [transition rules] Ортогональная матрица [orthogonal matrix]