linalgebra

III. Алгоритм для нахождения базисов линейных оболочек векторов из Rn.

Пусть

a1 = (a11, a21, . . . , an1), a2 = (a12, a22, . . . , an2),

.......................... ,

am = (a1m, a2m, . . . , anm)

векторы из Rn. Рассмотрим их линейную оболочку

L = a1, a2, . . . , am Rn.

Алгоритм для нахождения базиса линейной оболочки L следующий.

(1)Образуем матрицу A столбцами которой будут векторы a1, a2, . . . , am:

(2) Найдем столбцы, которые образуют базис линейной оболочки столбцов матрицы A (алгоритм см. выше). Допустим это будут столбцы с номерами k1, . . . , kr. Тогда векторы

образуют базис линейной оболочки L. При этом вектор ai, не входящий в базис (4.3), будет линейно разлагаться по базису (4.3) точно так же (с теми же коэффициентами), как i-ый столбец матрицы A будет разлагаться по столбцам матрицы A с номерами k1, . . . , kr.

5. Векторные пространства со скалярным произведением

Определение 5.1. Векторное пространство V называют векторным пространством со скалярным произведением, если для любой пары a, b векторов из V определено их скалярное произведение (a, b) так, что выполнены свойства

(1)(a, b) = (b, a);

(2)(λa + µb, c) = λ(a, c) + µ(b, c);

(3)(a, λb + µc) = λ(a, b) + µ(a, c);

(4)для любого a V выполнено (a, a)>0, причем (a, a) = 0 тогда и только тогда, когда a = 0.

Пространства со скалярными произведениями называют также евклидовыми простран-

ствами.

В пространствах R1, R2 è R3 геометрически определено скалярное произведение. Это определение естественным образом обобщается на Rn. А именно, стандартное скалярное произведение в Rn определяют формулой

((a1, . . . , an), (b1, . . . , bn)) = a1b1 + . . . + anbn.

Пример 5.2.

((1, 2, 9, 0), (4, −3, −1, 5) = 1 · 4 + 2 · (−3) + 9 · (−1) + 0 · 5 = −11.

В евклидîвом пространстве для векторов определены их длины. По определению, дли-

12 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

(по свойству (4) скалярного произведения подкоренное выражение неотрицательно). Из

этого определения следует, что

|a|2 = (a, a).

Лемма 5.3. Для любых векторов a è b евклидова пространства и любого λ R выпол-

Теорема 5.4 (Неравенство Коши-Буняковского) . Для любых двух векторов a, b евклидова пространства выполнено

(5.1) (a, b)2 6 |a|2|b|2,

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда a è b коллинеарны. Доказательство. В случае a = 0 лемма очевидна.

В случае a ≠ 0 рассмотрим квадратный трехчлен

Следствие 5.5 (Неравенство треугольника) . Для любых векторов a è b выполнено нера-

венство

|a + b|6|a| + |b|,

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда a è b коллинеарны.

Доказательство. Заметим, что в доказываемом неравенстве правая и левая части неотрицательны. Следовательно,

В евклидовом пространстве для пар ненулевых векторов определен угол между ними. А именно: по определению угол между ненулевыми векторами a, b V равен

φ = arccos (a, b).

|a||b|

Из неравенства Коши-Буняковского следует, что

и, таким образом, угол между ненулевыми векторами определен корректно. Угол между векторами, из которых хотя бы один нулевой, считается неопределенным. Согласно свойствам функции arccos имеем

(a, b) = 0.

Пусть e1, . . . , en - базис евклидова пространства. Базис e1, . . . , en называют ортогональ- íûì, åñëè

(ei, ej) = 0 äëÿ âñåõ i ≠ j.

Базис e1, . . . , en называют ортонормированным, если он ортогонален и

Рассмотрим евклидово пространство V . Напомним, что мы рассматриваем только конечномерные пространства и, следовательно, в V всегда можно выбрать какой-нибудь базис. Мы докажем, что в V существуют ортогональные и ортонормированные базисы и

укажем алгоритм для их построения. Сначала - полезная лемма.

Пусть e1, . . . , en - ненулевые попарно ортогональные векторы евклидова пространства. Тогда эти векторы линейно независимы.

Доказательство. Рассмотрим соотношение линейной зависимости

(5.3) λ1e1 + . . . + λnen = 0.

Для любого 16j6n умножив скалярно соотношение (5.3) на ej получим

λ1(e1, ej) + . . . + λn(en, ej) = (0, ej) = 0

èëè

λj(ej, ej) = 0

откуда следует, что λj = 0. Это доказывает, что соотношение линейной зависимости (5.3) тривиально и, следовательно, векторы e1, . . . , en линейно независимы.

Следущая лемма позволяет из ортогонального базиса "изготовить" ортонормированный.

Лемма 5.7. Åñëè

e1, . . . , en

- ортогональный базис евклидова пространства, то

будет ортонормированным базисом.

Доказательство. Мы должны проверить, что векторы (5.4):

Пример 5.8. Рассмотрим R2 со стандартным скалярным произведением. Векторы

(2, 3), (3, −2)

ортогональны. По лемме 5.6, они линейно независимы и, следовательно, образуют орто- гональный базис в R2. По лемме 5.7, векторы

образуют ортонормированный базис в R2.

Следущий далее процесс ортогонализации Грама-Шмидта позволяет из произвольного

базиса "изготовить" ортогональный.

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Пусть a1, . . . , an

- некоторый (не обязательно ортогональный) базис евклидова пространства V . Положим

.................................................................... , en = an + λn1e1 + λn2e2 + . . . + λn;n−1en−1,

и при этом коэффициенты λij в (5.5) находим так, чтобы система векторов e1, . . . , en áûëà ортогональна. А именно, коэффициенты λij находим последовательно:

• из условия (e2, e1) = 0 находим λ21:

• из условия (e4, e1) = (e4, e2) = (e4, e3) = 0 находим λ41, λ42 è λ43:

(e4, e1) = (a4 + λ41e1 + λ42e2 + λ43e3, e1) = (a4, e1) + λ41(e1, e1) = 0

(a4, e1)λ41 = −(e1, e1) ,

(e4, e2) = (a4 + λ41e1 + λ42e2 + λ43e3, e2) = (a4, e2) + λ42(e2, e2) = 0

(a4, e2)λ42 = −(e2, e2) ,

(e4, e3) = (a4 + λ41e1 + λ42e2 + λ43e3, e3) = (a4, e3) + λ43(e3, e3) = 0

(a4, e3)λ43 = −(e3, e3)

и так далее до конца. Найдя таким образом все λij получим ортогональный базис e1, . . . , en.

Описанный выше способ построения ортогонального базиса называется процессом ортогонализации Грама-Шмидта.

Пример 5.9. Рассмотрим пространство R3 со стандартным скалярным произведением. Применим процесс ортогонализации Грама-Шмидта к базису

a1 = (1, 2, 1), a2 = (0, −1, −4), a3 = (9, −1, −1).

Получàåì:

• e1 = a1 = (1, 2, 1).

•

Таким образом,

e3 = a3 − e1 − e2 = (7, −4, 1).

Итак, векторы

e1 = (1, 2, 1), e2 = (1, 1, −3), e3 = (7, −4, 1)

образуют ортогональный базис в R3.

Таким образом, в евклидовом пространстве можно взять какой-нибудь базис и применив к нему процесс ортогонализации Грама-Шмидта получить ортогональный базис. Из ортогонального базиса всегда можно изготовить ортонормированный базис (лемма 5.7). Следовательно, в евклидовом пространстве существуют ортогональные и ортонормированные базисы.

Теорема 5.10. Рассмотрим евклидово пространство V с ортогональным базисом e1, . . . , en. Тогда для любого вектора a V выполнено

Другими словами, координаты вектора a в базисе e1, . . . , en равны

- координаты вектора a. Умножив скалярно обе части равенства (5.7) на ei получим:

(a, ei) = (λ1e1 + . . . + λnen, ei) = λ1(e1, ei) + . . . + λn(en, ei) = λi(ei, ei)

и, следовательно,

Следствие 5.11. Рассмотрим евклидово пространство V с ортонормированным базисом e1, . . . , en. Тогда для любого вектора a V выполнено

(5.8) a = (a, e1)e1 + . . . + (a, en)en.

Другими словами, координаты вектора a в базисе e1, . . . , en равны

(a, e1), . . . , (a, en).

Рассмотрим подпространство L евклидова пространства V . По теореме 2.10, L само является векторным пространством. Определим в L (как в векторном пространстве) скалярное произведение следующим образом: скалярное произведение векторов из L равно их скалярному произведению как векторов из V . Таким образом, L является евклидовым

пространством. Таким образом, подпространство евклидова пространства само является евклидовым пространством.

Для всякого подпространства L евклидова пространства V определено его ортогональное дополнение

L := {a V | (a, b) = 0 äëÿ âñåõ b L}

Лемма 5.12. Ортогональное дополнение L является подпространством пространства

V .