11. Матрица жесткости (мжэ) элемента.
Матрица жесткости k отдельного элемента при использовании принципа Лагранжа связывает узловые перемещения конечного элемента с узловыми внешними силами этого элемента :
здесь
-
вектор узловых перемещений конечного
элемента ,
–
вектор
узловых сил конечного
элемента .
Физический смысл произвольного элемента kij – это реакция в i –й связи от единичного перемещения j-й связи. По теореме о взаимности kij = kji , поэтому k — симметричная матрица
Матрица жесткости отдельного конечного элемента зависит от вида конечного элемента и в общем случае может быть составлена разными путями.
12 Глобальная матрица жесткости всей области (мжс)
13. Как формируется глобальной матрицы жесткости всей области (мжс)
Глобальная матрица жесткости (МЖС) – матрица K формируется для нахождения узловых перемещений всей рассматриваемой области ( векторa ) при заданной внешней нагрузке ( векторa ) по формуле:
Это основное уравнение МКЭ . МЖС может быть получена путем непосредственного сложения матриц жесткостей (МЖЭ) всех конечных элементов, на которые была разбита рассматриваемая область , в одну матрицу . Обычно такое сложение очередной МЖЭ в МЖС проводится сразу после вычисления этой МЖЭ , что позволяет экономить память ЭВМ. При этом , если сетка разбиения на КЭ нерегулярная, то используется , так называемая, матрица индексов , которая позволяет правильно суммировать элементы МЖЭ с «нужными» элементами МЖС . Для регулярной сетки разбиения на КЭ процесс раскладки МЖЭ в МЖС (формирования МЖС) обычно автоматизирован.
Учет граничных условий. Полученная на основе указанных методов матрица жесткости МЖС является вырожденной, поскольку в соответствии с уравнениями равновесия заданной системы часть уравнений (для пространственных систем – шесть, а для плоских – три) окажутся взаимно зависимыми. Корректировка этой матрицы при учете граничных условий приводит к невырожденной системе линейных алгебраических уравнений. Иначе говоря , поскольку рассматриваемая область необходимо прикреплена к «земле» , соответствующие узловые перемещения равны нулю. Удаление соответствующих строк и столбцов в МЖС и есть эта корректировка .
14. Учет внешних связей при формировании МЖС
15.Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения
Решение МЖС – системы линейных алгебраических уравнений относительно узловых перемещений означает вычисление вектора узловых перемещений.
Для решения системы алгебраических уравнений используются стандартные программы, имеющиеся в математическом обеспечении ЭВМ, и специально подготовленные и лучшим образом учитывающие симметрию и структуру матрицы жесткости системы – редкозаполненность или ленточность. Вычисление искомых деформаций и напряжений в элементе
После определения узловых перемещений в соответствии с известными соотношениями теории упругости могут быть определены деформации и напряжения.
16. Сравнение точных и итерационных методов решения СЛАУ