3. Основная идея метода конечных элементов

Суть метода следует из его названия. Область, в которой ищется решение дифференциальных уравнений, разбивается на ко­нечное количество подобластей (элементов). В каждом из элементов произвольно выбирается вид аппроксимирующей функ­ции. В простейшем случае это полином первой степени. Вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Зна­чения функций на границах элементов (в узлах) являются решением задачи и заранее неизвестны. Коэффициенты аппрокси­мирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами (в узлах). Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов. Составляется система линейных алгебраических уравнений. Количество уравнений равно количеству неизвестных значений в узлах, на которых ищется ре­шение исходной системы, прямо пропорционально количеству элементов и ограничивается только возможностями ЭВМ. Так как каждый из элементов связан с ограниченным количеством соседних, система линейных алгебраических уравнений имеет разрежённый вид, что существенно упрощает её решение.

С точки зрения вычислительной математики, идея метода конечных элементов заключается в том, что минимизация функ­ционала вариационной задачи осуществляется на совокупности функций, каждая из которых определена на своей подобла­сти, для численного анализа системы позволяет рассматривать его как одну из конкретных ветвей диакоптики — общего метода исследования систем путём их расчленения.

4. Последовательность процедур алгоритма мкэ при использовании принципа Лагранжа.

Последовательность процедур алгоритма МКЭ при использовании принципа Лагранжа может быть представлена в следую­щем виде: 1). дискретизация, 2).составление матриц жесткостей (МЖЭ) каждого отдельного элемента,3).формирование глобальной матрицы жесткости всей области (МЖС) , 4).решение МЖС –системы линейных алгебраических уравнений относительно узловых перемещений , 5).вычисление деформаций и напряжений в элементе.

5.Преимущества мкэ.

Важнейшими преимуществами метода конечных элементов являются:

Свойства материалов смежных элементов могут быть разными. Это позволяет применять метод к телам, составленных из нескольких материалов.

Конечными элементами являются простые области (прямые линии, треугольники, прямоугольники, пирамиды, призмы). Та­ким образом, данным методом можно аппроксимировать тела со сложной формой краев.

Размеры элементов могут быть переменными. Это позволяет увеличивать или уменьшать элементы сетки.

С помощью МСЭ легко рассмотреть граничные условия с разрывной поверхностным нагрузкам, а также смешанные гранич­ные условия.

Алгоритм метода конечных элементов позволяет создать общие программы для решения задач различного класса.

Задача сводится к решению системы алгебраических уравнений большой размерности. Однако хорошая обусловленность системы разрешающих алгебраических уравнений позволяет получать достаточно точные решения для систем уравнений размерностью 5-10 миллионов и более.