45. Что такое матрица жесткости?
Матрица жесткости k отдельного элемента при использовании принципа Лагранжа связывает узловые перемещения конечного элемента с узловыми внешними силами этого элемента :
здесь
-
вектор узловых перемещений конечного
элемента;
–
вектор узловых сил конечного
элемента.
Физический
смысл произвольного элемента kij
– это реакция
в i
–й
связи от единичного перемещения j-й
связи. По
теореме о взаимности
kij
=
kji
, поэтому
k
—
симметричная матрица
Матрица жесткости отдельного конечного элемента зависит от вида конечного элемента и в общем случае может быть составлена разными путями.
46. Матрица индексов , ее назначение.
47.Основные виды матриц
48.Основные операции над матрицами
49.Одномерный конечный элемент
Простейшим среди элементов является одномерный элемент. Схематически он обычно изображается в виде отрезка (рис.2.1) , хотя и имеет поперечное сечение. Площадь поперечного сечения может изменяться по длине, но во многих встречающихся задачах она считается постоянной. Наиболее часто такой элемент используется в одномерных задачах распространения тепла и в задачах строительной механики при расчете стержневых элементов конструкций (типа ферм).
Простейший одномерный элемент имеет два узла, по одном на каждом конце. Элементы более высокого порядка, трехузловые (квадратичные) и четырехузловые (кубические), изображены на рис. 2.1,6 и в. Одномерный элемент может быть криволинейным (рис. 2.1, в) при условии, что длина дуги входит в уравнения, определяющие элементы.
50. Двумерный конечный элемент
Для построения дискретной модели двумерной области используются два основных семейства элементов: треугольники и четырехугольники. Стороны линейных элементов каждого семейства представляют собой прямые линии (рис. 2.2, а и б). Квадратичные и кубические элементы могут иметь как прямолинейные, так и криволинейные стороны или те и другие (рис. 2.2,в и г). Возможность моделирования криволинейных границ достигается добавлением узлов в середину сторон элементов. Оба семейства элементов могут быть использованы одновременно внутри области, если только они имеют одинаковое число узлов на стороне (рис. 2.2, г). Толщина элемента может быть или постоянной, или являться функцией координат.
51. Трехмерный конечный элемент
Наиболее часто встречающимися трехмерными элементами являются тетраэдр и параллелепипед (рис. 2.3,а и б). В обоих случаях линейные элементы ограничены прямолинейными сторонами (плоскостями), тогда как элементы более высокого порядка могут иметь в качестве границ криволинейные поверхности. При разбиении трехмерного тела трудно наглядно представить расположение элементов в дискретной модели, поэтому,
вероятно, более желательным из этих двух типов элементов является параллелепипед. На, рис. 2.3, в показан другой вид элементов, которые используются при рассмотрении тел цилиндрической формы. Эти элементы подобны двумерному треугольнику и позволяют еще учесть изменение неизвестной величины вдоль третьей координаты.
На рис. 2.4 показан элемент, широко используемый в задачах для тел вращения. Этот элемент образуется поворотом треугольника на 3600 . Подобный же элемент может быть получен вращением четырехугольника
