9. Разбиение области на элементы

Процесс дискретизации может выть разделен на два этапа: разбиение тела на элементы и нумерация элементов и узлов. По­следний этап логически совершенно прост, но усложняется в связи с нашим желанием повысить эффективность вычислений.

В этом разделе рассматривается разбиение двумерной области на линейные треугольные элементы. Двумерная область вы­брана для удобства иллюстрации; кроме того, идеи, представленные здесь, могут быть обобщены на случай трехмерного тела. Дискретизация одномерного тела почти тривиальна, так как она сводится только к делению отрезка на более короткие участки.

Разбиение двумерного тела на треугольники выделено потому, что этот элемент — простейший из двумерных элементов в смысле аналитической формулировки. Требование простоты элемента связано с тем, что при моделировании области должно быть использовано большое число элементов, поэтому деление области на треугольники , вероятно, наилучший способ раз­биения.

10. Как производится нумерация узлов

Нумерация узлов была бы тривиальной операцией, если бы но­мера узлов не влияли на эффектив­ность вычислений, необходимых для получения решения. Использование метода конечных элемен­тов приводит к системе линейных алгебраических уравнений, большое число коэффициентов которой равно нулю. Рассмотрение матрицы коэффициентов системы показывает, что все ненулевые коэффициенты и некоторые нулевые находятся между двумя ли­ниями, параллельными главной диагонали (рис. 2.10). Расстояние между главной диагональю

Рис. 2.10. Ширина полосы ненулевых элементов (коэффициентов) матрицы системы уравнений. (буквы С обозначает ненуле­вые коэффициенты.)

и этими линиями называется шириной полосы матрицы. Все коэффициенты вне этой полосы равны нулю, и они не должны сохраняться в машинной памяти. Правильная вычислительная программа использует только те коэффициенты матрицы, которые находятся внутри указанной полосы. Уменьше­ние ширины полосы приводит к сокращению размеров требуемой машинной памяти, а также к сокращению времени вычислений. Ширина полосы В вычисляется по формуле

B = ( R+1) Q (2.1)

где R - максимальная по элементам величина наибольшей разно­сти между номерами узлов в отдельном элементе, Q - число не­известных (число степеней свободы) в каждом узле. Мини-мизация величины В связана с минимизацией R, что, в частности, может быть осуществлено последовательной нумерацией узлов при движении в направлении наименьшего размера тела. Два разных спо­соба нумерации узлов в теле показаны на рис. 2.11, а и б. Наи­большие разности между номерами узлов для первых элементов на рис. 2.11, а и б равны 7 и 21 соответственно. Значения R для полных наборов элементов равны 9 и 21. Для ширины полосы получаются значения 10 и 22 , если в каждом узле отыскивается по одной неиз­вестной величине ,

V

б

Рис. 2.11. Два примера нумерации узлов при разбиении на элементы двумерного тела.

или значения 20 и 44, если в каждом узле рассматриваются две неизвестные величины. Правильная ну­мерация узлов в этом примере сокращает машинную память более чем на 50%.

Нумерация элементов представляет собой простую процедуру. Обычно принято номер элемента по­мещать в круг ( или заключать в круглые скобки) с тем, чтобы избежать путаницы с номерами узлов. Элемент (1) на рис. 2.11, а содержит узлы с номерами 1, 2 и 8. Нумерация элементов не влияет на вы­числительные аспекты задачи.