книги / Теория и расчет авиационных лопаточных машин

дящейся в состоянии ku «уводит» систему либо к точке k, либо к началу координат. Такое возбуждение колебаний носит название жесткого возбуждения. Для достижения устойчивой амплитуды Ak начальные возмущения должны превосходить по амплитуде вели­ чину Л/1Ч, а начало координат устойчиво, поскольку вблизи А ^ О

Следует заметить, что колебания с устойчивой амплитудой мо­ гут существовать только в системе, имеющей нелинейные характе­ ристики. Такой характеристикой в системе с компрессором является нелинейная зависимость давления от расхода. В линейной системе энергии возбуждения и демпфирования имеют только одну точку пересечения — начало координат. Поскольку источником таких ко­ лебаний не является какое-либо внешнее периодическое воздействие, возникающие колебания не являются вынужденными. Как известно, 1акие процессы называются автоколебательными, а системы, в коюрых они возникают, автоколебательными системами. Применитель­ но к компрессору такие автоколебания получили название помпажа. Цикл помпажных колебаний, т. е. зависимость изменения давления перед дросселем от расхода воздуха через компрессор при пом­ пажных колебаниях нанесена штрихпунктиром на рис. 11.1. В тео­ рии колебаний такие замкнутые кривые называют предельными цик­ лами. В дальнейшем для количественного описания условий возбуж­ дения и развития помпажных колебаний мы воспользуемся необхо­ димыми понятиями классической теории колебаний, в том числе понятием предельного цикла.

В отличие от рассмотренного выше случая потери статической устойчивости, связанной с изменением расхода, этот второй вид не­ устойчивости (помпаж — потеря динамической устойчивости) свя­ зан не с медленным изменением расхода, а со скоростью его изме­ нения. При изучении потери динамической устойчивости приходится исследовать динамические уравнения, т. е. уравнения, в которые вхо­ дят производные параметров по времени, учитываются инерционные и емкостные свойства системы. Возникновение помпажа приводит к большим динамическим нагрузкам на все элементы конструкции и при длительном воздействии — к разрушению силовой установки.

Существует еще один вид нестационарных процессов, который возникает в результате потери устойчивости осесимметричного те­ чения и также связан с возникновением срывного течения. Вслед­ ствие производственных отклонений в геометрии отдельных лопаток и имеющейся в реальных условиях асимметрии потока срыв воз­ никает не на всех лопатках венца одновременно, а в отдельных меж­ лопаточных каналах (не более двух-трех каналов). Возникший отрыв потока в этих каналах уменьшает расход через них, а может также перекрывать сечение каналов и приводить к выбросу среды навстречу

351

лопаточных каналов (рис. 11.4).- Если рассмотреть развитие этих явлений на изолированных вра­ щающихся и неподвижных вен­ цах, то можно обнаружить прин­ ципиальную разницу. Опыты

показали, что на неподвижных венцах (как кольцевых, так и плоских) вращающихся зон срыва не появляется, возникают только нерегуляр­ ные пульсации давления. При возникновении срыва во вращающемся венце этот срыв увлекается в сторону вращения ротором (рис. 11.5). Поэтому основной причиной перемещения срывных зон является вращение венца. Это явление получило название вращающегося срыва. В отличие от продольных колебаний из-за помпажа при возникновении вращающегося срыва нарушается осевая симметрия потока.

Прежде чем переходить к подробному описанию вращающегося срыва, необходимо отметить весьма существенное обстоятельство. Хотя отрыв пограничного слоя является первопричиной возникаю­ щего срывного течения, вращающийся срыв есть не потеря устойчи­ вости течения в пограничном слое, а потеря устойчивости всего те­ чения. Не всякий отрыв пограничного слоя ведет к возникновению вращающегося срыва. Так, например, при работе компрессора глу­ боко в правой ветви, когда лопаточные венцы работают с большими отрицательными углами атаки, при отрыве пограничного слоя не возникает вращающегося срыва. Вращающийся срыв не возникает и в турбинных венцах, когда они работают при больших углах атаки, а возникает отрыв пограничного слоя. Дело заключается в том, что для развития автоколебаний, а вращающийся срыв — автоколеба­ тельный процесс, необходимо, чтобы система реагировала на возни­ кающие возмущения так, чтобы эти возмущения благодаря системе нарастали. Как говорят, реакция системы должна действовать в такт возникающим возмущениям. В этом и состоит существо принципа Релея.

Рассмотрим, согласно этому принципу, развитие вращающегося срыва, когда компрессор работает в левой ветви напорной характе­ ристики, т. е. когда dp/dQ > 0. Как мы установили ранее, когда воз­ никает срыв потока, скорость те­ чения в межлопаточных каналах начинает уменьшаться. Посколь­ ку компрессор работает в левой ветви, при уменьшении скорости напор, создаваемый ступенью,

Рис. 11.5. Схемы вращающихся срывных зон в венцах компрессора:

а — венец с малым относительным диаметром втулки; б — венец с большим значением dK

352

падает, а это ведет к дальнейшему уменьшению скорости, т. е. при работе компрессора в левой ветви напорной характеристики реак­ ция системы действует в такт возникающим возмущениям. Поэтому в рассматриваемом случае возникает потеря устойчивости всего те­ чения — вращающийся срыв.

В правой ветви напорной характеристики компрессора и турбины система реагирует не в такт возникающим возмущениям и не разви­ вается неустойчивость всего течения: при' уменьшении скорости те­ чения напор увеличивается и, следовательно, скорость должна возрастать. Появление вращающегося срыва приводит к падению на­ пора ступени и возникновению вибраций лопаток.

После описания неустойчивых течений в компрессоре (потеря статической устойчивости, помпаж, вращающийся срыв) необходимо перейти к рассмотрению количественных характеристик рассматри­ ваемых явлений. Это необходимо как для определения областей устой­ чивой и неустойчивой работы, так и для разработки рекомендаций по обеспечению устойчивости. Поскольку при нарушении устойчи­ вости речь идет прежде всего об автоколебаниях для количественных оценок, привлекается хорошо разработанный аппарат классической теории колебаний.

11.2.Некоторые сведения из теории колебаний

иустойчивости движения

Теория устойчивости движения занимается исследова­ нием влияния возмущающих факторов на движение системы. Под возмущающими факторами понимаются силы, не учитываемые при описании движения вследствие их малости по сравнению с основными силами. Эти возмущающие силы обычно неизвестны. Известно, что влияние малых возмущающих факторов различно: на одни движе­ ния оно оказывается незначительным, так что возмущенное движе­ ние мало отличается от невозмущенного, на другие движения — значительным и возмущенное движение отличается от невозмущен­ ного, как бы малы не были возмущающие силы. Теория устойчивости движения занимается установлением признаков, позволяющих су­ дить, будет ли рассматриваемое движение устойчивым или неустой­ чивым.

Понятие об устойчивости движения является непосредственным обобщением понятия устойчивости равновесия, которое, как известно, заключается в следующем. Рассмотрим произвольную систему с п степенями свободы, определяемую координатами qx ... qn. Допустим,

и скоростей будут все время оставаться численно меньше сколь угодно малого положительного числа е при условии, что начальные

отклонения и скорости численно меньше достаточно малого поло­ жительного числа т], то равновесие называется устойчивым. Важ­ ным моментом, вытекающим из определения устойчивости, является то, что об устойчивости равновесия судят по характеру тех движе­ ний, которые имеют место вблизи положения равновесия.

Совершенно аналогично устойчивости равновесия определяется устойчивость движения. Рассмотрим произвольную динамическую систему. Ее движение может быть описано системой дифференциаль­ ных уравнений:

Рассмотрим частное движение системы, которому соответствует частное решение ys fs (t) уравнения (11.1). Назовем это движение невозмущенным в отличие от других движений, которые называются возмущенными. Невозмущенное движение называется устойчивым по отношению к величинам у8У если для всякого положительного числа е, как бы мало оно не было, найдется другое положительное

Приведенная формулировка устойчивости движения принадле­ жит выдающемуся русскому ученому А. М. Ляпунову, работы кото­

Для исследования устойчивости необходимо получить уравнения

то /3 (t) — периодическая функция. При рассмотрении устойчивости равновесия функции fs (t) обращаются в постоянные и уравнения

При исследовании устойчивости компрессора мы воспользуемся этим уравнением. Как станет ясно из дальнейшего при исследовании неустойчивых режимов компрессора, нам придется столкнуться с необходимостью анализа нелинейных дифференциальных уравне­ ний. Как известно, общих методов решения нелинейных дифферен­ циальных уравнений, в отличие от линейных, не существует. Среди

354

л1годов анализа нелинейных систем метод, основанный на испольовапии фазового пространства (мы будем пользоваться фазовой носкостью), позволяет получить наглядное представление о движеиях системы. Этот метод позволяет построить фазовый «портрет» ппамической системы. Понятие фазовой плоскости мы разберем сна- а л а па простом примере — колебаниях гармонического осцилляора. Как известно, движение гармонического осциллятора опреде- /1стся линейным дифференциальным уравнением второго порядка:

\огя решение уравнения (11.5) хорошо известно, и в данном случае пн анализа динамической системы можно не прибегать к рассмотре­ ние движения на фазовой плоскости, мы используем этот пример как амый короткий путь пояснения метода фазовой плоскости. Обозна-

В то время как зависимость х от / выражается дифференциальным \ равнением второго порядка (11.5), зависимость у от х выражается \ равнением первого порядка. Интегрируем уравнение (11.6), полу­ чим уравнение эллипса:

состоянию системы соответствует точка на фазовой плоскости. Каждому новому состоянию соответствуют все новые и новые точки, г. е. движению системы соответствуют фазовые траектории. Как видно из равенства (11.7), в рассматриваемом случае фазовые тра­ ектории — семейство подобных эллипсов, соответствующих опре­ деленному значению К (рис. 11.6). Поскольку движение осцилляюра периодическое, фазовые траектории — замкнутые кривые. Уравнение (11.6) определяет касательные к интегральным кривым. Только в точке х - 0, у 0 направление касательных становится неопределенным. Начало координат таким образом является особой точкой, в данном рассматриваемом случае эта особая точка назы­ вается центром. Отметим, что начало координат фазовой плоскости— точка равновесия и при том устойчивого.

ние касательных к фазовым траекториям. Интегрирование послед­ него уравнения показывает, что фазовые траектории для случая

соо > h2 представляют собой логарифмические спирали (рис. 11.7, а)9

начало координат — особая точка в таком движении — называется фокусом. Видно, что при любых начальных отклонениях система по истечении некоторого промежутка времени вернется как угодно близ­ ко к положению равновесия. Такую устойчивость, при которой на­ чальные отклонения не только не нарастают, а затухают, называют

абсолютной устойчивостью. При h2 > уравнение (11.8) описывает затухающий апериодический процесс. Фазовые траектории в слу­

чае h1 > 0)0 представлены на рис. 11.7, б. Особая точка таких дви­ жений называется узлом. Мы рассмотрели случаи, когда коэффи­ циент трения b > 0 , т. е. посредством трения происходит диссипа­

ция энергии. Если рассмотреть систему, обладающую соответствен­ ным резервуаром энергии, и энергия подводится к системе, то урав­ нение (11.8) такой системы не изменится по форме, только вели­ чина h < ОЕ

Мы получим как бы «отрицательное» трение. На фазовой плос­ кости состояния равновесия по-прежнему будет фокус или узел, но состояния равновесия неустойчивые (см. рис. 11.7, пунктир). Кратко напомним основные свойства автоколебательных систем, еще раз отме­ тив, что автоколебания возможны только в системах, которые описыва­ ются нелинейными дифференциальными уравнениями. Рассмотрим

1 Классическим примером такой системы является так называемый маятник Фроуда: на равномерно вращающийся вал подвешен с некоторым трением обычный маятник.

356

Нелинейную функцию в правой части (11.9) представим в виде ростейшей так называемой S -характеристики, т. е. f (х) = О ■ри х < 0 и f (х) = 1 при х > 0. При принятой характеристике не- ,шейности уравнение (11.9) распадается на два линейных диффеепциальных уравнения:

вторые мы только что изучали. Рассмотрим фазовую плоскость этой пстемы. Уравнение (11.10) в нижней полуплоскости (х < 0) описыаст затухающий осцилляторный процесс, а верхней — также за­ дающий процесс, но со смещенным на единицу начальной коордиагы. В самом деле, делая замену переменной £ = х + 1 в случае

\ > 0, получим £ + 2ht -f 0)0£ ~ 0, т. е. затухающий процесс, на­ чало координат в котором смещено на единицу вправо. При приняом виде нелинейности легко построить фазовый портрет рассматриаемой системы (рис. 11.8). Пусть начальное отклонение хх в нижней юлуплоскости, идя по логарифмической спирали (начало коорди­ нат точка О, О), получим точку х \ В верхней полуплоскости от точки П с началом координат в точке (У, 0) получим точку х2:

в верхней полуплоскости приводят к последовательному увеличе­ нию размахов колебаний. Однако можно убедиться, что это нараста­ ние колебаний не будет бесконечным, и в системе установятся коле­ бания с некоторой постоянной амплитудой. Установить эту ампли- ;уду можно так: исключая из двух уравнений (11.11) величину х', определим

Таким образом, на фазовой плоскости мы получили замкнутую фаекторию, которая в теории колебаний называется предельным циклом. Наличие замкнутой фазовой траектории говорит о том, что в системе возникают незатухающие колебания. Однако нам нужно убедиться в том: 1) при каких начальных условиях возникают коле­ бания и 2) устойчиво ли найденное периодическое решение. Отве­ тить на поставленные вопросы нам поможет графическое построение, гак называемая диаграмма Ламерея (рис. 11.9). По оси ординат от­ ложены последующие точки пересечения логарифмической спирали с положительной осью х, по оси абсцисс — предыдущие точки пере­ сечения. Зависимость (11.12) и прямая х> - - хх в точке пересечения указывают абсциссу кривой предельного цикла. Как видно, точки

357

Рис. 11.8. Фазовая плоскость авто­ колебательной системы

Рис. 11.9. Графическое определение амплитуды предельного цикла

последовательностей как внутренних по отношению к предельном)!

Заметим, что амплитуда зависит лишь от свойств самой системы. Итак: 1) каковы бы не были начальные условия, в системе устанав­ ливаются незатухающие колебания; 2) эти незатухающие колебания устойчивы, так как отклонения (в обе стороны) от стационарного режима затухают. Несмотря па наличие трения в системе устанав­ ливаются и поддерживаются незатухающие колебания за счет сил, зависящих от состояния движения самой системы. Амплитуда этих колебаний определяется свойствами самой системы, а не началь­ ными условиями. Такие колебания называют автоколебаниями, а системы — автоколебательными системами.

Мы определили, что в системе устанавливаются устойчивые колебания, которым на фазовой плоскости соответствует устойчи­ вый предельный цикл. Это значит, что фазовые траектории в про­ странстве как охватываемом предельным циклом, так и вне его, как говорят, «наматываются» на предельный цикл.

Состояние равновесия (начало координат) является неустойчи­ вым (неустойчивый фокус). Это значит, что при любом сколь угодно малом отклонении от состояния равновесия в системе возникнут автоколебания. Системы, в которых возникают автоколебания опи­ санным выше способом, называются системами с «мягким» возбужде­ нием. Важно отметить, что при исследовании условий возникновения колебаний в таких системах, т. е. для определения границы устой­ чивости состояния равновесия, можно воспользоваться таким при-

358

равновесия нарушается при любом доста­ точно малом отклонении, можно линеа­

следуя линейную систему, что является принципиально более простой задачей, чем

исследование нелинейной системы. Однако этим приемом можно вос­ пользоваться только для определения границы устойчивости, а па­ раметры системы (период и амплитуду автоколебаний), естественно, можно находить только при решении нелинейной системы диффе­ ренциальных уравнений.

Мы рассмотрели пример системы, когда существует одно поло­ жение равновесия. В автоколебательных системах этим не исчер­ пываются все возможные случаи возникновения колебаний. Во мно­ гих системах, в том числе и в компрессоре при определенных усло­ виях, зависящих от свойств самой системы, можно указать несколько состояний равновесия. Рассмотрим случай, когда помимо состояния равновесия в начале координат фазовой плоскости существует еще одно состояние равновесия. Пример именно такой системы встреча­ ется нам при анализе возникновения неустойчивости в компрессоре. Фазовый портрет такой системы приведен на рис. 11.10. Имеются два предельных цикла — внешний устойчивый и внутренний неус­ тойчивый. Фазовые траектории «сматываются» с неустойчивостью предельного цикла. В этом случае начало координат — точка ус­ тойчивого равновесия (устойчивый фокус). Автоколебания в такой системе могут возникнуть (г. е. реализуется движение, соответ­ ствующее внешнему устойчивому предельному циклу) только в слу­ чае, если начальные возмущения превосходят по амплитуде ампли­ туду первого неустойчивого цикла (заштрихованная область на рис. 11.10). Такой вид возникновения автоколебаний называется автоколебаниями при «жестком» режиме возбуждения. Этот вид автоколебаний наиболее опасен, поскольку колебания возникают внезапно при достижении большой амплитуды возбуждения. По­ скольку при начальных возмущениях, лежащих в заштрихованной на рис. 11.10 области, система остается устойчивой, говорят, что система устойчива «в малом», но неустойчива «в большом», так как при больших, чем оговоренные, возмущениях в системе возникают устойчивые автоколебания.

1 Под линеаризацией подразумевается разложение нелинейных функций в ряд Тейлора и отбрасывание нелинейных членов разложения,

359

11.3. Уравнения движения воздуха в ступени компрессора и их анализ

11.3.1. Вывод уравнений движения

Применим рассмотренные выше определения и изучим причины потери газодинамической устойчивости в компрессоре. Это изучение проведем на примере простой системы, когда ступень комп­ рессора работает в системе стенда. Схематически эта ситуация изоб­ ражена на рис. 11.2. Для облегчения рассмотрения не будем учиты­ вать изменения плотности воздуха, т. е. рассмотрим низкопапорный компрессор. Повышение давления в компрессоре можно представить в зависимости от осевой скорости са или объемного расхода через компрессор. В рассматриваемом случае характеристика может быть

ных участках отрицательная. Давление в ресивере рб зависит от

p - i r ~ d r = p ° - p i -

Величина p - ^ - — L a называется акустической массой и определяет инерционные свойства столба воздуха, тогда L a ^ ~ - — р0 — p v

Определив по этому выражению давление на входе в компрессор, необходимо знать изменение давлений во всем тракте. Примем в ка­ честве допущения, что давление за компрессором изменяется скач­ ком в соответствии с характеристикой компрессора p j p i — я (QK), и будем считать, что характеристика компрессора, полученная в ста­ тических условиях, не изменяется в рассматриваемом динамическом, процессе. При принятых допущениях мы не считаемся с характером изменения давления и других параметров по тракту компрессора, полагая, что компрессор представляет собой некоторую поверх­ ность разрыва, на которой все параметры меняются скачкообразно. Такие системы, в которых не учитывают изменения параметров по координате, называются системами с сосредоточенными парамет-

360