книги из ГПНТБ / Борисенко А.И. Аэродинамика и теплопередача в электрических машинах

или

ние улучшается, если в расчет ввести фиктивную длину стержня, равную сумме действительной длины и половины его толщины.

4-5. Теплопередача в установившемся состоянии

при наличии внутренних источников тепла

Изолированный стержень с источниками тепла. В изолированный стержень длиной L подводится тепловой поток Цч (рис. 4-6). Кроме того, в нем имеются источники тепла q„, равномерно распределенные по объему. Это соответствует, например, нагреву при прохождении электрического тока.

Из уравнения теплового баланса для элементарного объема по­ лучим:

150

Плоская стенка с источниками тепла. Пусть тепло, поступающее от внутренних источников тепла с мощностью qv, отводится через бо­ ковые (поверхности в окружающую среду. Определим распределение температуры в стенке при условии, что боковые поверхности охлаж­ даются с одинаковыми коэффициентами теплоотдачи. Следовательно, процесс протекает симметрично относительно средней плоскости стен­ ки. Сюда поместим начало координат и направим ось х поперек стен­ ки (толщина 26).

Для слоя толщиной dx на расстоянии х имеем:

15!

Если задано Т = Т е при х = Ь, то

Подставляя в это уравнение значение Т0 из (4-75) и производ­ ную из (4-72), получаем распределение температуры по толщине пла­ стины в виде

Принимая линейную зависимость коэффициента теплопроводно­ сти от температуры X=Xo(l + ß7’) и используя (4-72), находим урав­ нение для расчета температурной кривой в виде

Неизолированный цилиндр с источниками тепла. Рассмотрим бесконечно длинный стержень с радиусом го, в котором равномерно

ность с коэффициентом теплоотдачи а. Определим, какова темпера­ тура на оси и на поверхности цилиндра при A=const.

Согласно закону Фурье для кольцевого слоя с радиусом г и

152

Имея в виду, что Т = Т 0 при /'=0, из (4-82) находим С=Т0 и распределение температуры

(4-84)

Если Т=ТС при г=го, то выражение для температурной кривой имеет вид:

(4-85)

Перепад температуры по радиусу находится вычитанием (4-85)

из (4-84)

2

9і/б

Го ~ Та = ~1Х-

Из граничных условий на внешней поверхности имеем:

(4-86)

или, подставляя в это уравнение значение Тс из (4-85), имеем:

(4-87)

Принимая зависимость коэффициента теплопроводности от тем­ пературы по линейному закону А,=Яо(1 + рГ) и используя (4-82), по­ лучаем:

(4-88)

Цилиндрическая стенка с источниками тепла. В бесконечно длин­ ной цилиндрической стенке с внутренним радиусом /д и внешним г% имеются распределенные источники тепла мощностью qv- Тепло отво­ дится в окружающую среду через наружную или внутреннюю по­ верхность. Определим распределение температуры в стенке на вну­ тренней и внешней поверхностях трубы при Х= const.

При теплоотводе только через наружную поверхность

При равномерно распределенной по объему интенсивности тепло­ выделения gi= gcJt(r2—г2і). Подстановка этого выражения в (4’-89) дает:

ИЛИ после интегрирования

(4-90)

15.1

2тЛ

Если зависимость коэффициента теплопроводности от темпера­ туры определена по линейному закону А,= Х0(1+ß7")> то температур­ ная кривая имеет вид:

(4-92)

Когда генерируемое в стенках тепло отводится только через внутреннюю поверхность трубы, уравнение температурной кривой получает вид:

4Х

Полагая г=гх и Т= Ти получаем значение перепада температуры в стенке

(4-94)

Если зависимость коэффициента теплопроводности от темпера­ туры является линейной Я = Х0(1 + ß7), то

(4-95)

154

или

4ЯХ (ч - 4)+ 2Х In Д 2Л

155

В рассмотренных задачах распределение температуры полага­ лось одномерным. В аналогичных объектах конечных размеров часто имеет место двухмерное поле температуры. Методы решения таких задач при смешанных краевых условиях и интенсивности тепловых источников, заданной произвольной функцией, рассматривались, на­ пример, в (Л. 86, 87, 93, 199].

Г л а в а п я т а я

РАСЧЕТ ОХЛАЖДАЮ Щ ЕЙ ПОВЕРХНОСТИ РЕБРИСТОГО И ТРУБЧАТОГО ИСПОЛНЕНИЯ

5-1. Предварительные соображения о выборе

оптимальных размеров ребер охлаждения

Отвод тепловых потерь в полностью закрытых ма­ шинах осуществляется .внешним обдувом корпуса, на котором устраивают продольные или круговые ребра. Величина теплового потока почти всегда пропорцио­ нальна площади теплоотдающей поверхности корпуса. Однако размеры ребер при этом целесообразно опти­ мизировать по расходу материала.

Корпуса из материалов с большим коэффициентом теплопроводности (медь, алюминий) при небольшой величине коэффициента теплоотдачи с оребренной сто­ роны имеют почти одинаковую температуру по всей охлаждаемой поверхности. Расчет теплопередачи в этом случае ведехся с учетом коэффициента оребрения по формулам (4-41) и (4-42).

Если коэффициент теплопроводности материала реб­ ра сравнительно мал (сталь, чугун и т. п.), а интенсив­ ность теплообмена с охладителем велика, то темпера­ тура ребра уменьшается с удалением от поверхности нагрева. Определение температурного поля в отдельно взятом ребре и системе ребер и выбор их размеров является одной из задач, связанных с тепловым расче­ том электромашин.

5-2. Одномерное распределение температуры по высоте ребра произвольного профиля

Расположив начало системы координат в середине основания ребра (рис. 5-1), будем рассматривать ребро единичной длины в направлении оси 2 с профилем

± у = f (х). Полагая y/h<^\ и тепловой поток в направ­ лении оси г равным нулю, для тепловых потоков в сече-

156

Рис. 5-1. Распределение температуры в ребрах различного профиля.

а — прямоугольное сечение; б — с выпуклым параболическим профилем; в — с параболическим профилем, ограничивающим минимальное сечение; г — треугольное сечение; д — трапециевидное сечение.

ниях X и х+іАх и через соответствующую элементарную площадку на поверхности ребра получаем выражения:

р * = - * ѵ Ъ

р х+*х = ~ x ( y + i k d x ) Jk ( T + i & d x ) ’

157

где Po — общее количество тепла, рассеянного одной стороной ребра. В общем случае Ро определяется вы­ ражением

h _________

а) Прямое ребро с минимальным сечением

Определим вид функции f(x), образующей профиль ребра с минимальным сечением. Такое ребро требует минимума материала для своего изготовления. Для этого удельный тепловой поток должен быть постоян­ ным по всему сечению ребра. Это означает, что линии теплового потока должны быть параллельными оси х, а температура вдоль линий теплового тока должна из­ меняться по линейному закону

третье граничное условие, после интегрирования полу­ чаем:

Здесь предполагается, что все тепло уходит до того, как л: становится равным h. Так как плотность тепло­ вого потока постоянная, то у конца ребра у должен равняться нулю.

Подставляя Т из (5-5) в (5-4) и интегрируя, по­ лучаем:

158