Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Основы автоматизации для металлургов

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

33.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3113 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

лишь до определенного предела, по достижении которого темпера тура становится неизменной (рис. 66,6). Это обусловлено дости жением равновесия между количеством подводимого тепла и ко личеством излучаемого тепла. Системы такого рода называются астатическими. Характер переходной характеристики показывает, что установившееся значение выходной величины достигается с не которым запаздыванием, которое определяется постоянной вре мени Т (в некоторых литературных источниках его обозначают т).

Обычно переходная характеристика системы является более сложной, чем приведенные простые примеры, так как она опреде-

Рис. 68. П е р е х о д н а я характеристика статической	Рис.	69. П е р е х о д н а я характери-
системы с чистым з а п а з д ы в а н и е м	стика астатической системы с чи
		стым з а п а з д ы в а н и е м

ляется характеристиками большого числа элементов, из которых состоит система. Типичная переходная характеристика не очень сложной системы показана на рис. 67. Характерной величиной для этой системы является отрезок времени, ограниченный касатель ной к переходной характеристике в точке, где скорость изменения выходной величины является максимальной. Этот отрезок времени называется продолжительностью разгона Тп- Период времени от момента изменения входного сигнала до момента, когда указанная касательная пересекает ось времени, называется временем запазды вания Ти- Их сумма, т. е.

Тр=Ти+Т„,	(60)
называется временем перехода Тѵ.	нагрева и
Некоторые статические системы, особенно системы	нагрева и

системы транспортировки материалов, имеют еще одно свойство, показанное на рис. 68, которое называется запаздыванием по фазе

Td- Изменение входного сигнала проявится	на	выходе	лишь	по
истечении этого времени Та. Для астатической		системы	(рис.	69)
интервал времени Ти рассматривается как	время запаздывания,
Та — время астатического разгона.

121

Анализ

при

помощи

синусоидального

сигнала

На вход системы подается синусоидальный сигнал.

Характер

входной и выходной величин можно выразить графически

(рис. 70)

или зависимостями:

у ( » ; = /

« s i n (£>t =

Y (со) eiat;

(61)

X (

» =Х

(ш) sin И

Ф) = X

(со) е ' 1 < 0 ' +

(62)

где

X и

Y — амплитуды;

со = 2nf

— угловая

частота;

— время;

Ф (со) — сдвиг по

фазе.

Возникновение гармонических колебаний на выходе при поДаче

на

вход

гармонических колебаний при

совпадении

входных и вы

ходных колебаний

по

частоте

имеет место только для линей

ных

элементов

(небольшую

нелинейность

можно

всегда

в определенной

мере

линеари

зовать).

Выходные

колебания, как

Рис.

70. Характер

гармонических колебаний

показывает

приведенная

зави

симость,

будут

отличаться

на

в х о д е

и выходе системы

от входных по величине

ампли

туды и будут иметь фазовый сдвиг по отношению к входным ко

лебаниям.

Эти

изменения амплитуды

фазовый сдвиг

являются

функцией

частоты и выражают

динамические

свойства

элемента.

Рассмотрим

отношение

гармонического

выходного

сигнала

к входному

сигналу,

которое

называется передаточной

функцией

О )

(ja,)

,/ф

( <•>)

(63)

У (Уш)

Г ((О)

Функцию F(j(ù)

можно выразить

зависимостью

F (ум) =

Р (со) +

JQ (со) = А (со) е]Ф

(64)

где соотношение амплитуд выходных и входных колебаний

Л (со)

У(ь>)

• =

mod F (уш)

называется

коэффициентом

передачи,

графическое

представле

ние его зависимости

от со — амплитудной

характеристикой.

Фазовый

сдвиг

Ф:(м) =

arg/="(;«>)

(65)

как функция со

графически

представляется фазовой

характери

стикой.

Передаточную функцию можно изобразить и графически в виде вектора в комплексной системе координат. Вектор входной вели-

122

чины при этом откладывают на действительной оси координат, вектор выходной величины повернут по отношению к вектору входной величины на угол Ф. Путем соединения конечных точек

j Ф (ш)

вектора	Л(со)е	,	соответствующих частотам / в диапазоне
(О, оо),	получим	так	называемую частотную характеристику. Эта

характеристика объединяет две предыдущие характеристики: ам

плитудную		и	фазовую,		поэтому ее иногда называют амплитудно-
фазовой. Эта характеристика показана на рис. 71.
	Исследование при помощи синусоидального сигнала заключа
ется таким образом в определении ряда значений									А(ан)	и	Ф(СОЙ)
для	выбранной			угловой	скорости
СОЙ,	k = 0 ...	п	и	получении		соот
ветствующих			амплитудных			и фа
зовых характеристик или частот
	ой- «1
	Рис. 71. Частотная (амплитудно - фа						Рис.	72. Характер	изменения		вели
	Рис. 71. Частотная (амплитудно - фа						чин	при исследовании с помощью
	зовая)		характеристика				чин	при исследовании с помощью
	зовая)		характеристика					прямоугольных	колебаний
								прямоугольных	колебаний
ной характеристики. Чтобы						проанализировать данный				объект, из

мерение необходимо проводить хотя бы для 5—10 значений так, чтобы охватить не менее чем две декады диапазона частот (мас штаб 100: 1). Шире диапазон нецелесообразен, так как практиче ски коэффициент передачи большинства объектов быстро убывает


до нуля	при увеличении частоты. Амплитуду входного			сигнала
обычно	выбирают в диапазоне 5—20%	максимального		значения
с учетом требования линейности передачи, уровня			помех и т. д.
При проведении измерений выходные		колебания	регистрируются

после окончания переходного процесса и их стабилизации; изме


рения повторяют для одного и	того же значения входа; значения
амплитуды и фазы выходного	сигнала усредняют, чтобы исклю
чить влияние случайных факторов.
Анализ при помощи прямоугольных		колебаний

Анализ системы при помощи синусоидальных сигналов вызы вает на практике большие трудности, так как необходим элемент, который генерировал бы синусоидальный входной сигнал. Поэтому на практике входной синусоидальный сигнал заменяется прямо угольными колебаниями с частотой f 0 = -^-=-rr- и амплитудой Л о.

123

Разложение этого сигнала в ряд Фурье

У (і) = 2 д ° [sin oV-f~~Jp s i n 3wo4-~5~s i n 5m»-f- • • •]

(66)

показывает, что прямоугольные колебания соответствуют беско нечному ряду убывающих по амплитуде нечетных гармоник. Реак ция на этот сигнал имеет вид


^ ( 0 = ^ [ л і з і п Ы +			Ф1 ) + 4 ^ 5 І п ( З ш 0 + Ф 3 ) + . . . ] .				(67)
Учитывая убывание			амплитуды гармонических			составляющих
входного	сигнала,	при	анализе	можно	ограничиться		первыми
тремя. Остальные		составляющие		частотной	характеристики можно
получить	повторением измерений			с использованием		прямоугольной
волны, имеющей более высокую основную частоту.

Иногда используют также упрощенные методы, основанные на определении только первых гармонических составляющих. Харак

тер изменения входной и выходной величин	показан	на	рис. 72.
При амплитуде входных прямоугольных колебаний		Л 0	выраже
ние для первой гармонической составляющей	примет	вид
3 > ( * ) = - ^ s i n - ^ * = = l , 2 7 A , s i n - y - * .			(68)

Первую гармоническую составляющую на выходе определяют при помощи приближенного метода. Период выходных колебаний делится на п отрезков времени одинаковой величины:

для

которых определяются

соответствующие

ординаты

Хо, х і , ...

Д л я

вычисления

используют

формулу

_і_

Ах={а\

Ь\У

(69)

где

и — 1

п — 1

2т; .

. ,

2я

-у

2dх ь c

o s т"

^ = ~ ~ т

2dх ь c o s

—

(^о)

n — l

h = -f- 2 x k s i n

-jr-k-

(7 1)

Обычно

выбирают

6 или

ординат,

так

что, например, для

шести отрезков

справедливо:

ах

—

xk cos 60° k

= ^-(xQ

+ - ^ - x l ~ ~ x 2 - x 3 — \ - x A +

-L xsy,

(

* i

xksinÇ>0° k = ~-

{xx-\-x2~

xA — xz).

(73

k =

124

Фазовый сдвиг можно определить из выражения
Ф (toj) = arctg _ L						(74)
a соотношение амплитуд — из		выражения
	1
2\	2
1,27Лп						(75)
1,27Лп
Недостатком	приведенного	экспериментального			метода	явля
ется то, что при	неодинаковом воздействии регулирующего органа
		на обе		стороны происходит сдвиг
		среднего		значения.	В результате
		этого	входная величина			может
		иметь	постоянную		составляющую

	(рис. 73). Поэтому в этом случае
	реакция равняется наложению
7	У\

I F

Рис.	73. В х о д н а я и выходная вели	1_.
чины	при асимметричном входном
	сигнале	Рис. 74. Формирование импульса

реакции при прямоугольных колебаниях на реакцию при скачке. Для устранения этого недостатка в контур вводят регулятор. Ука занная симметрия, т. е. наложение периодических колебаний на реакцию на импульс, наблюдается и при симметричном входном сигнале, в этом случае необходимо подождать, пока переходная составляющая затухнет.

Анализ при помощи одиночных

импульсов

В качестве входного сигнала используется кратковременное изменение входной величины, имеющее обычно прямоугольную форму. Такой импульс можно представить как наложение двух скачкообразных изменений, следующих одно за другим через оп ределенный интервал времени (рис. 74).

Очевидно, что метод анализа при помощи импульса с теорети ческой точки зрения является равноценным методу с использова нием скачкообразного изменения входной величины. Однако в ряде случаев оказалось, что метод анализа с использованием импульса является более удобным и точным.

125

	Анализ	по реакции на		сигнал	общего		вида
x(t)	Входной сигнал	произвольной		формы	у (t)	и	выходной сигнал
x(t)	связаны уравнением		свертки,	в которое		входит импульсная
характеристика системы			k(t)
	оо		t
x(t)	= lk{k)y{t-\)d\=]		k(t-v)y{T)di.				(76)
	О		—со

Решение этого интегрального уравнения затрудняется тем, что x(t) в момент времени ^=0 не равняется нулю, поэтому один из пределов интеграла является бесконечным. Обозначим через x0(t) входной сигнал в момент времени t = 0. Тогда уравнение примет вид

	t		t
*(0=	j	k(t-z)y(z)dï	= x0(t) + §k(i-ï)y(^d(z),	(77)
где	—оо		0
где	о
	о
х0 (0= j		А ( * - т ) у ( т ) Л .		(78)
	— 00

Это уравнение решается численными методами путем замены непрерывного входного и выходного сигналов дискретными значе ниями y(m-At), x(m-At), где At— шаг изменения времени. Тогда свертка превращается в сумму

N—Ï

х(т

• Д * ) =

k(nM)y

[{т-п)Щ,

(79)

л =

где

k (п At)—дискретное

представление

импульсной

характери

стики

интервале времени (N— 1) At.

Для успешного решения интегрального уравнения

численным

методом необходимо

правильно выбрать величину At и N.

На практике выходной сигнал определяется суммой

реакции

системы

на

входной

сигнал

Y(t)

и на

возмущение Z(t):

оо

оэ

X{t)

(X) Y

(t-X)

ûft + j

Ä (X) Z(t-l)

(80)

где

k(X) —импульсная характеристика реакции системы на вход

ной

сигнал;

h(%)—импульсная

характеристика

реакции

системы

на воз

мущение.

Так

как

величина

возмущения, как правило, неизвестна, то

вместо

выражения

(80)

исследуется корреляционная

функция

оо

RY,

x^)

(À) R Y

(x-\)

d\+

Jh (l)

R Y Z

(x - \ )

dl.

(81)

126

Так как можно считать, что между входным сигналом и возму

щением связи нет, вторая функция		RYz{r)	равна нулю, в	резуль
тате чего зависимость (81) упрощается.
Корреляционная функция для отклонений входных и выходных
величин имеет вид
	Г	оо
= lim	- 2 ^ j y(t)x(t+*)dx=\	k(k)Ryv(x-\)dK		(82)
Т - * с о	_ т	0

При практическом использовании методов коррекции требуется обработка больших объемов данных, поэтому используются так называемые корреляторы и цифровые ЭВМ. Более подробные све дения приведены в работах [7, 15].

Формы описания динамических свойств системы

Для описания динамических свойств системы разработан ряд методов [49], некоторые из которых описаны ниже.

Логарифмические частотные характеристики

Построение амплитудных и фазовых характеристик, а также частотных характеристик в комплексной плоскости является до вольно трудным и длительным процессом. Поэтому чаще всего ис пользуется логарифмическая форма передаточной функции F (ja).

Путем логарифмирования выражения

F (/<•>) —А		(со) еІФ (cö) = Р (со) + / Q		(ш)	(83)
получим
log	(/со) =	log Л Н + / Ф	(со),		(84)
где	log Л (к») —логарифмическая			амплитудная	характеристика;
	Ф(со) — фазовая		характеристика.
	Для большей части линейных			систем справедливо, что переда

точная функция F(j(ù) однозначно определяется характером Л (со) или Ф(<й).

При построении логарифмической частотной характеристики log© откладывают по оси абсцисс, а log Л (CD) или Ф(со) — п о оси ординат. Так как передаточная функция чаще всего имеет форму

частного от	деления двух		полиномов
m
П	(7VC0 +	1)
то путем логарифмирования получаем
	m		л
log F о)=2	log	(г >+1	) ~ 2 l°g (T"j'w+1	) •	<86)

127

Амплитудная и фазовая характеристики отдельных слагаемых передаточной функции описываются выражениями

log |(77ш +

1)| =

log У

r W H - l ,

(87)

arctg Ф (ш) =

(88)

аппроксимируются

прямыми с

наклоном

log 1 = 0

(для Г с о ^ І )

и наклоном log Гсо (для

Т м ^ І ) . При этом

значения

амплитудной

характеристики выражаются

в логарифмических

единицах — деци

белах.

При построении характеристик следует руководствоваться уже

указанным

ранее

выражением передаточной функции в виде част

Цда)

ного

от деления

полиномов

20 log к

и строить

их как

сумму

ха

рактеристик,

соответствую

щих

отдельным

элементар

ным

звеньям

передаточ

ными

функциями:

Tju>

(1 +

г »

J(ù

(1 +

7 > )

Рис.

75. Л о г а р и ф м и ч е с к а я

а м п л и т у д н о - ф а з о в а я

Tjia

И ( l + 77'u).)-

характеристика

Практическое

построение

характеристики

для

передаточной

функции

/7(>) =

1ÎTT-i»(I

/2/со)

показано

на рис.

75.

Аналитическое

выражение

динамических

свойств

Если

на

выходе

системы

без задержки

появится реакция

(((t)

на входной сигнал ц(/), то динамические свойства можно описать при помощи алгебраического уравнения

?	{t)=kp(t),		(89)
где k — коэффициент усиления.
	Этот случай усиления	без запаздывания является относительно
редким. Сюда относится,		например, поведение	электронной лампы
в	простом усилительном	каскаде (&>1) или	потенциометра как

делителя напряжения (&<1). Чаще встречаются случаи, когда выходной сигнал достигает своего установившегося значения (оп ределяемого приведенным алгебраическим уравнением) лишь по истечении определенного времени. Тогда динамику величины q>(t) уже нельзя описать алгебраическим уравнением. Для этого ис-

128

пользуется дифференциальное уравнение порядка п;

аЛ Ф^а/ г _1 ср<"-1 )+		. . . + я к р ' + во<р=ф(0,	(90)
где ап, ап-и	...,	а0 — константы уравнения;	по времени;
Ф<п),	...,	ф' — производная величина ф ( п )	по времени;

]x(t) —произвольная входная функция.

Характер изменения выходной величины ср(і) определяется ди

намическими свойствами объекта и часто					зависит	не	только от
величины входного сигнала, но и от динамики его изменения								(про
изводных по времени). Тогда дифференциальное уравнение примет
вид
=	Ьпу.™ + . . .	+						(91)
Решение однородного		уравнения
Л я Т ^ + А » - ! ? ' " " 1		^ ••• + а к р ' + а0<р =			0			(92)
непосредственно определяет динамические свойства системы,								т. е.
ее поведение после прекращения действия входного сигнала								(соб
ственные колебания системы). У статических систем							амплитуда
этих колебаний убывает во времени, поэтому они называются пе
реходной составляющей. При			решении неоднородного				уравнения
( 9 1 ) результат, полученный			при решении		однородного		уравнения
( 9 2 ) , дополняется функцией			времени,	как	правило,	того же		вида,
что и <p(t).
Она	представляет	собой значение, которого достигает выход
ная величина в момент времени t=oo				(установившаяся			составляю
щая) .	3.	РЕГУЛИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ

Пусть регулируемая система математически описывается диф ференциальным уравнением порядка п с постоянными коэффици ентами

1 = 0				(93)
1 = 0
Уравнение	справедливо	для t>Td,	где Та — чистое	время за
паздывания. Наивысший порядок дифференцирования				регулируе
мой величины	определяет	порядок	системы (система порядка
«/г»).

Статические системы после изменения входной величины сами, без воздействия регулятора, переходят в новое установившееся по ложение. В уравнениях, описывающих статические системы, всегда

so ф	0.
Коэффициент s0 равен величине, обратной коэффициенту уси
ления		системы, который в статическом			уравнении вида ф(0 =
= k\i(t)		определяет	изменение	выходной	величины	при изменении
входной.
Характеристики			отдельных	видов статических		систем различ
ных порядков приведены в табл. 9.
9	З а к а з №. 141					129

	ТАБ ЛИ ЦА 9	Статические	системы
	Переходная	Уравнение	системы	Частотная
Система	Переходная	Уравнение	системы	характеристика
	характеристика			характеристика

Статическая нулевого порядка без чистого запаздыва ния

+ІГТ

ш-0

Статическая 1-го порядка без чистого запаздывания

+1,

Статическая 2-го и более высоких порядков без чисто го запаздывания

Sof = t* (* — Td)

Статическая нулевого порядка с чистым запаздыванием

+Im\ Sff

Статическая 1-го порядка с чистым запаздыванием

Передаточная функция

в операторной форме

(р=;'">)

Fs (P) = s0

Fs	(P) •	1
		SlP + «О

F s (P) ••		1
	$2P2	+ slP + s0

Fs(P)=- so

F s (P) •

SlP + s0

130	9*	131
130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3113 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ