книги из ГПНТБ / Дракин, И. И. Основы проектирования беспилотных летательных аппаратов с учетом экономической эффективности

почти до 8%, но эта траектория очень далека от реальности, так как поперечная перегрузка на максимальной высоте достигает почти —5.

Заметим, что траектория с £ = —0,02 также мало реальна, так как в верхней точке перегрузка достигает — 1,5, а

сXі ~

однако, в этом случае неучет влияния индуктивного сопротивле­ ния на конечную скорость приводит к ошибке только в 1%.

Поэтому определение величины 1 1+ аХ

тельных приближений. Вначале задаются ориентировочным зна­ чением 1/к, например, 1/к = 1000 м/с. Это значение вставляют в правую часть формулы (4.21) и определяют при этой скорости величины, зависящие от Ѵк, такие как Щга/пср, суМ (если задан угол атаки ам) , рт; после этого находят Ѵк3. Практически доста­ точно 2—3 приближения, так как правая часть формулы (4.21) сравнительно слабо зависит от Ѵк.

Найдя Ѵк. опт, по формуле (4.12) находят величину удель­ ной нагрузки на крыло, которая также получается оптимальной. В некоторых случаях, например, при большой дальности поле­ та может оказаться, что удельная нагрузка на крыло, получен­ ная по формуле (3.45), будет меньше чем полученная по фор­ муле (4. 12). В этих случаях следует выбирать удельную нагруз­

данную среднюю скорость. Это возможно в тех случаях, когда Ѵк. опт существенно меньше заданного значения Ѵор. В этих слу­ чаях приходится допускать более высокое значение Ѵк; удельную нагрузку на крыло в таких случаях следует определять по фор­ муле (4. 12).

При атаке цели вдогон следует проверять конечную скорость на условие

Ѵ к> Ѵ я + Ѵ сб, (4.22)

где Ѵсб — скорость сближения, которая задается.

При расчете по формуле (4.21) следует учитывать, что чле­ ны, содержащиеся в квадратных скобках, сравнительно слабо

160

приблизительно на 2%. Это позволяет несколько упростить опре­ деление указанных величин, применяя приближенные зависимо­ ограничиваясь средними величинами вместо интегральных.

В случае полета на большом угле атаки в конце полета при работающем двигателе нормальная составляющая тяги может быть существенна, тогда ее необходимо учесть, так как она по­ зволяет заметно уменьшить площадь крыльев. Для высотных БЛА даже целесообразно увеличивать тягу двигателя в конце

сравнительный расчет по весовому и экономическому критериям. Исходные данные берем произвольные, подходящие к высотному

ченное в табл. 3.3 у = 0,92.

В этом случае при экономическом критерии

^ , п т = П 8 4 м /с .

Как видим, при экономическом критерии конечная скорость получается на 8% больше.

3. ОПТИМИЗАЦИЯ РАСХОДА ТОПЛИВА МНОГОСТУПЕНЧАТЫХ РАКЕТ ПО ВЕСОВОМУ КРИТЕРИЮ

В многоступенчатых БЛА вес топлива в каждой ступени дол­ жен быть оптимален по тому или иному критерию. В общем слу­ чае критерием оптимизации должны быть экономические затра-

ты на выполнение целевой задачи. В случае однотипных двига­ телей во всех ступенях приближенным критерием может слу­ жить стартовый вес. Действительно, в этих случаях стоимость конструкции каждой ступени будет почти пропорциональна весу топлива.

Впервые метод оптимизации многоступенчатых ракет по весо­ вому критерию был предложен Малина и Саммерфильдом в 1947 г. для случаев полета в безвоздушном пространстве. Основ­ ным условием применения этого метода было равенство удель­ ных импульсов и относительных весов конструкции всех ступе­ ней. Впоследствии появилась сравнительно обширная литература по этому вопросу, в которой различные авторы решали задачу оптимизации с осложненными исходными данными. Однако влияние аэродинамического сопротивления на оптимальное рас­ пределение топлива по ступеням не учитывалось. Поэтому пред­ лагаемые методы были применимы лишь для космических и бал­ листических ракет. Характерным примером таких работ является методика, приведенная в книге [48].

Применение весового критерия к БЛА с разнотипными дви­ гателями в ступенях может повести к ошибке, при этом, чем больше отличие двигателей по экономическим и весовым харак­ теристикам топлива и конструкции, тем большая ошибка будет получаться.

В данном разделе применяется весовой критерий, который может давать удовлетворительные результаты для однотипных ракетных двигателей. Следует заметить, что проблема оптимиза­ ции топлива в ступенях при наличии на второй ступени ВРД обычно не имеет большой актуальности. Действительно, в прин­ ципе, из весовых соображений ракетный двигатель на разгон­ ной ступени не желателен, так как он имеет удельный импульс значительно меньший, чем ВРД. Однако ВРД некоторых типов (ПВРД, РПД) не могут эффективно работать без достаточного скоростного напора. Поэтому ракетный двигатель на первой сту­ пени обычно обеспечивает разгон до скорости, необходимой для надежной работы маршевого ВРД, или для обеспечения полета БЛА без снижения.

Характерной особенностью излагаемой ниже методики опти­ мизации топлива многоступенчатых ракет является учет аэроди­ намического сопротивления. Удельные импульсы и относитель­ ные веса конструкции различных ступеней могут отличаться.

Относительные веса топлива в ступенях не могут быть про­ извольны. Они связаны условием выполнения поставленной кине­ матической задачи. Поэтому, например, для двухступенчатой ра­ кеты уменьшение или увеличение топлива во второй ступени требует соответственного увеличения или уменьшения топлива в первой ступени. Выведем уравнение, связывающее относитель­ ные веса топлива ступеней, предполагая их последовательную работу.

162

Рт о можно интерпретировать как относительный расход топлива эквивалентного одноступенчатого ЛА, удельный импульс двига­ тельной установки которого /0 и который имеет те же кинемати­

ческие и аэродинамические характеристики (— ), что и оптими- .

зируемый многоступенчатый БЛА. Обозначим

(4. 28)

Здесь (.іт vi, (Ат/и и |AT xi — соответствует і-й ступени «-ступенча­ того БЛА. Учитывая выражение (4.23), теперь можно написать

Это уравнение связывает между собой значения рт,, оно име­ ет место для любого многоступенчатого ЛА, ступени которого работают последовательно. Это уравнение будем называть урав­ нением связи.

Основной трудностью оптимизации топлива многоступенча­ того ЛА является необходимость учета кинематических и аэроди­ намических характеристик ЛА, которые в общем случае не вы­ ражаются аналитически. Уравнение связи (4.29) позволяет из­ бежать эту трудность. Вместо непосредственного учета кинема­ тических и аэродинамических характеристик достаточно учесть при оптимизации только величину рт0, которая воплощает в себе эти характеристики.

В рассматриваемой задаче минимизируемой функцией явля­ ется стартовый вес G0, варьируемыми переменными являются относительные веса топлива ртг-, которые связаны между собой уравнением (4.29). Применяя метод множителей Лагранжа и обозначая

где К — множитель Лагранжа, уравнения оптимизации будут

Эти уравнения должны решаться совместно с уравнением (4.29).

При оптимизации топлива в ступенях полагаем, что заданы следующие кинематические величины: Ѵ0, Ѵср, Ук и траектория. В этом случае импульс скоростного напора qaMUÄ const, см.

164

рис. 1.4 и соответствующий текст. Это позволяет при дифферен­ цировании функции Z считать

Рт0 = const,

т. е. принимать величину рт0, не зависящей от какой-нибудь ве­ личины рт т, но учитывать, что совокупность величин рті свя­ зана с рто уравнением (4.29). Постоянство величины рт 0 сохра­ няется точно, если сохраняются при оптимизации неизменными

сохранения неизменными законов изменения указанных величин можно потребовать сохранения постоянными интегральных ве­

Эти равенства будут справедливы, если будет сохраняться траектория полета, законы изменения скорости и баллистическо­ го коэффициента по времени.

Практически постоянство всех указанных величин и функций технически не целесообразно выдерживать. Например, не целе­ сообразно точно выдерживать закон скоростей, хотя легко мож­ но выдерживать величины

Ѵ 0, Ѵ к, j 1/dt, v 0, 1/K.

о

Поэтому в действительности рт о несколько зависит от каж­ дой из величин рт но эта зависимость при практических усло­ виях полета слабая. Ошибка в определении G0mm при принятии jxTo = const может быть за счет возможной существенной разни­ цы в баллистических коэффициентах 1 и 2-й ступеней. Кроме того, на указанную ошибку влияет относительное время полета 1 или 2-й ступени, а также соотношение ускорений. Если время полета 1-й ступени ті = 0 (мгновенный разгон), то ошибка в оп­ ределении Gomin при принятии pT0 = const будет близка к нулю.

Вдействительности для маневренных БЛА

ипоэтому роль аэродинамического сопротивления в балансе топ­ лива первой ступени ракеты — незначительна.

Если в процессе работы двигателей 1-й ступени ЛА выходит за пределы плотных слоев атмосферы (выше высоты 25 км), то роль аэродинамического сопротивления для 2-й и последующих ступеней становится ничтожной, если при этом происходит интен­ сивный набор высоты. Например, БРД Д «Минитмен» при работе

165

Это выражение является результативной формулой для опреде­ ления оптимального относительного веса топлива /и-й ступени. В правую часть этой формулы входят параметры т-й ступени и величина %< являющаяся общей для всех ступеней, ниже дано ее определение.

Для і-і'і ступени по формуле (4. 33)

1 1+ а,- (а,- + Ii g i )

"г і

yJt - 1

Подставляем это выражение в уравнение связи (4.29); группи­ руя отдельно члены, содержащие величину %, находим

Заметим, что в выражение для ѵ входят только величины, кото­ рые должны быть известны до начала оптимизации, в частности величина цт 0 должна быть определена по формуле (4.23). Не­ расходуемые или расходуемые неэффективно остатки топлива целесообразно включать в величину а, с учетом потребной для них конструкции.

В формулах (4. 33) и (4. 34) величины %, цяі, а, и /,■ являются для данной задачи постоянными. Если предполагается оптимизи­

ределяя затем стартовый вес, находят оптимальное значение параметра по весовому критерию или по экономическому (см. разд. 3. 1).

Так как

27‘=ß’

1

Из этого уравнения можно найти величину %, входящую в фор­ мулу (4.33). Заметим, что величина %в правой части уравнения

167

(4. 35) входит в дробных степенях, поэтому это уравнение долж­ но решаться методом последовательных приближений или гра­ фически.

Рассмотрим частный случай, когда во всех ступенях значения іі — одинаковы. В этом случае /*= 1, см. (4.27). Обозначим через хо значение %ПРИ й = 1. Тогда из уравнения (4.35)

то формула (4. 36) также может применяться, ошибка при этом будет незначительна. Если Д или хо не удовлетворяют условиям (4.37), то значением хо можно воспользовать­ ся как первым прибли­ жением при нахожде­ нии величины X из уравнения (4. 35). Для двухступенчатых БЛА значение-X по величине Хо можно найти по гра­ фику, приведенному на рис. 4.5. Этот график построен по уравнению (4.35) с учетом выра­

жения (4.36).

При оптимизации топлива многоступен­ чатых БЛА в качестве основной исходной ве­ личины является зна­ чение цт0 [см. формулу (4.34)]. Эта величина соответствует расходу топлива одноступенча­ того ЛА, имеющего те же баллистические

(траекторию и закон скоростей) и аэродинамические (X/G ) ха­ рактеристики, что и многоступенчатый БЛА. Из последнего свой­ ства следует, что при определении рт0 следует пользоваться фор­ мулой (1.56), а не формулой (1.60). Это затрудняет решение

168

задачи, так как при определении величины ртж по формуле (1.54) необходимо учитывать переменность полетного веса G.

Для упрощения расчетов приравняем правые части формул (1.56) и (1.60),тогда найдем

Учитывая третье выражение (4. 28),

Здесь г — индекс ступени. Заметим, что значение баллистическо­ го коэффициента, входящее в выражение для рта{, будет

_ _

где G{ — начальный вес I-й ступени.

Нахождение величины ртжо с помощью формулы (4.38) сле­ дует делать двумя последовательными приближениями. Вначале возможно определять ртао по формуле (1.66) как для односту­ пенчатого ДА

где k соответствует количеству участков, на которое разбивает­ ся траектория (см. разд. 5. 1, гл. I) индекс / — соответствует но­ меру участка. Значение рто определяется по формуле (1.60). Затем после определения величин рт нахождения весов, траек­ торий и скоростей отдельных ступеней ищут значения

І-г

целесообразно в первом приближении принять ориентировочную разбивку траектории и скорости по ступеням, например, по ста­ тистике.

Для ракетных двигателей, а также ракетных с ракетно-пря­ моточными (в разных ступенях)

0,5 <7,- < 1,5, e ^ > Tdi< 0 ,3 .

169