книги из ГПНТБ / Дракин, И. И. Основы проектирования беспилотных летательных аппаратов с учетом экономической эффективности

Представление траектории в виде алгебраической функции позволяет при вычислениях ограничиться малым количеством рассчитываемых точек траектории (4—6). При выражении тра­ ектории комплексом координат ее точек необходимо иметь малые расстояния между точками, так как в процессе определения аэро­ динамических характеристик необходимо определять первую (dhjclx) и вторую (d2hjdx2) производные координат. Это требует значительного увеличения количества рассчитываемых точек. Малое количество параметров и малое количество расчетных то­ чек весьма существенно уменьшают объем расчетной работы при оптимизации траектории параметрическим методом.

Если принять один варьируемый параметр, то для определе­ ния оптимальной траектории следует определить расход топли­ ва для 4 траекторий. В случае принятия в уравнении (4. 2) двух варьируемых параметров, придется определить расход топлива уже для 16 траекторий. Как видим, объем расчетов увеличи­ вается в 4 раза.

Возможно сократить объем расчетной работы, используя ме­ тод последовательной оптимизации. Сущность этого метода за­ ключается в следующем. Вначале производят оптимизацию тра­ ектории, исходя из одного варьируемого параметра. Полученная при этом траектория будет являться первым приближением к точной оптимальной траектории. В ряде случаев эту траекторию можно использовать для целей проектирования.

После оптимизации первого приближения можно полагать, что точная оптимальная траектория находится вблизи оптималь­ ной траектории первого приближения. Поэтому для траектории

удовлетворяющая граничным условиям и в частности при началь­

Дальнейшая задача состоит в подборе подходящей функции для Ah, удовлетворяющей условиям (4. 6) и позволяющей воз­ можно в большей степени учесть факторы, влияющие на опти-

150

мальность траектории. Одной из таких функций хможет являться функция

т соответствует (4. 4). Эта функция учитывает тот факт, что для уменьшения расхода топлива, идущего на преодоление аэроди­ намического сопротивления, следует возможно быстрее перехо­ дить на большие высоты полета, т. е. делать более крутой старт. Конечно, при этом возникает и отрицательный фактор — увели­ чение поперечных перегрузок, что приводит к возрастанию ин­ дуктивного сопротивления. Функция (4. 7) мала по величине в. конце полета, где оптимальная форма траектории в достаточной степени определяется в результате первой оптимизации или соот­ ветствующими ограничениями по перегрузкам.

Возможны для величины Ah и другие функции, например,

величина ЛЛтах будет при х/хк«0,22.

1.1. Пример определения оптимальной траектории

Для иллюстрации оптимизации траектории параметрическим методом приводим пример расчета в сокращенном виде. В ка­ честве исходных данных принимаем следующие произвольные значения: х = 0, хк = 50 км, А0= 0, /гк = 25 км; Ѵо=600 м/с, Ѵк= = 800 м/с, т= 80 с, ао=10“ 4 м2/кгс, /ср=>240, ограничений на тра­ екторию, кроме указанных не накладывается.

Так как траектория ограничена только положением началь­ ной и конечной точек полета, то для оптимизации первого при­

ул = 0,5 — 50ф.

Следовательно,

h = (0,5 — 50ф) х ф- фх2,

здесь значение х и h в км.

Задаемся значениями h: 0, —0,01, —0,02, —0,03. Кривые, со­ ответствующие получающимся при этом уравнениям, приведены на рис. 4. 2. Пользуясь методами определения расхода топлива, закона изменения скоростей и аэродинамического сопротивле­

151

ния,.изложенными в гл. 1, найдены относительные веса топлива при полете по каждой траектории с указанными значениями На рис. 4. 3 приведен график зависимости относительного веса

нии рт учитывались следующие кинематические факторы: сред­ няя скорость, которая различна для различных траекторий; угол наклона траекторий в различных точках; нормальные ускорения в различных точках, ведущие к индук-

Как видно из графика на рис. 4.3, оптимальная траектория соответствует | 4= —0,015, при этом значение рт достигает ми­ нимального значения. Уравнение этой траектории

А = 1,25л:— 0,015л2.

По сравнению с прямолинейной траекторией, при полете по оп­ тимальной траектории расход топлива на 13% меньше.

Переходим к последующей оптимизации траектории. Учиты­ вая, что в найденном уравнении траектории величина т = 1, при­ нимаем в выражении (4. 7) s = 3; некоторое увеличение s по срав­ нению с (т + 1) сделано в целях предотвращения роста перегру­ зок в конце полета. Тогда

ДЛ = $2(50 — x f x .

Уравнение семейства кривых, среди которых будем искать опти­ мальную траекторию последующего приближения будет

h = 1,25х — 0,015л2-|-^2 (50 — х)3х.

Задаемся значениями £2 в интервале 0—16-10—6. Заметим, что £г = 0 соответствует найденному выше уравнению оптимальной траектории первого приближения. Для новых траекторий опре-

152

деляем относительный вес топлива и затем находим графически значение £2, соответствующее минимуму [іт-

Зависимость величины рт от |г приведена на рис. 4.3, см. кри­ вую В. Как видно из графика, оптимальное значение

2. ОПТИМАЛЬНАЯ КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ МАНЕВРЕННЫХ БЛА

Для маневренных БЛА располагаемые перегрузки на боль­ ших высотах в конце полета, где обычно требуется более значи­ тельный маневр, лимитируются конечной скоростью и удельной нагрузкой на крыло. Действительно,

предполагается, что значение су обеспечивается максимально возможное.

Из приведенного выражения для пук следует, что, обеспечи­ вая получение заданной перегрузки, необходимо одновременно с определением конечной скорости определять и удельную на­ грузку на крыло.

Увеличение конечной скорости полета ведет к увеличению расхода топлива [см., например, формулы (1.62), (1.69)], сле­ довательно, при этом увеличивается и полетный вес. Однако при увеличении конечной скорости уменьшается потребная площадь крыльев, что ведет к уменьшению их веса и аэродинамического сопротивления во всем полете, а следовательно, к уменьшению пблетного веса. Очевидно, в каждом случае существует опти­

153

малыше значение конечной скорости, при котором полетный вес будет минимальным.

•Варьируя конечную скорость полета, предполагается, что как схема всего БЛА, так и его агрегатов и, в частности, крыльев и двигательной установки, остаются неизменными. Оптимизацию конечной скорости проводим вначале на базе весового крите­ рия — GoПоэтому условием оптимальности Ск будет

dVк

Для многоступенчатого БЛА под весом G0 в данном случае следует понимать вес последней маневрирующей на высоте сту­ пени. Действительно, согласно формуле (1.2), вес предшествую­ щих ступеней будет практически пропорционален весу послед­ ней ступени, поэтому вполне возможно оптимизировать величи­ ну Ѵк по весу последней ступени.

Учитывая, что в данном случае G0 зависит как от ркр, так и

Сопоставляя это уравнение с уравнением (3. 11), а также с выражением (3. 10), нетрудно видеть, что полученное уравне­ ние можно применить для оптимизации Ѵк и при экономическом

154

критерии, заменив величину (1+адв) на величину у- Таким об­ разом, более общий вид уравнения оптимизации будет

Это уравнение кладем в основу оптимизации Ѵк.

Основной весовой характеристикой крыла является его удель­ ный вес

= const, определяя эту величину по статистике аналогичных БЛА или рассчитывая по статистическим формулам для статистиче­ ского значения удельной нагрузки на крыло. Относительный вес крыла

Здесь принято ÄK = const, что для данных целей допустимо. За­ висимость удельной нагрузки на крыло от конечной скорости можно представить в виде

155

Величину производной, входящей в это уравнение, определя­ ем приближенно на основе формулы (1.60). Заметим, что вхо­ дящие в эту производную величину пуМ, суМ, g Kp имеют сравни­ тельно небольшую точность определения, а они являются основными для точности определения величины производной. Так величина пуМ зависит от ряда факторов трудноподдающихся учету: маневра цели, ракурса встречи с целью, скорости цели, инерционности тракта управления, допустимых ошибок наведе­ ния и др. Величина суМ в значительной степени зависит от схе­ мы БЛА, от схемы аэродинамического управления, от устойчи­ вости; она зависит также от срывных характеристик, от вибра­ ционных и жесткостных характеристик БЛА и др. О точности оценки потребной величины пуМ и реально реализуемой в поле­ те величины Сум трудно говорить, во всяком случае ошибка при их оценке может превышать 10%.

Учитывая замечание о точности, входящих в производную d^T/dVK величин, определение ее делаем с помощью осреднения некоторых переменных величин. Это позволяет получить в конеч­

по формуле (1. 60)

А*-т ^ (Б ц +Б/г)—(1 — Бг+ ІБаХ ФгП

Ф*т __-[ Э/J-Ta

Принимая постоянное значение /, равное /ср, согласно формуле (1.62) или (1.69),

Для определения величины d[iTaldVK принимаем в формуле (1.66) значение п ~ 1, причем эту формулу представляем в виде

Замена интегрального выражения через произведение средних величин не приведет к существенной ошибке, если величина стср

156

будет определена правильно, т. е. будет найдено ее среднеинте­ гральное значение. Расчет по окончательной формуле для Ѵи показывает, что ошибка в значении аср на 10% приводит к ошиб­ ке в определении Ѵк приблизительно 2%. Обеспечение осредне­ ния величин а с ошибкой не превышающей существенно 10% не представляет трудностей.

Так как при изменении Ѵк при заданных /ср, L и Ѵср в фор­ муле (4. 16) изменяются только ф и сгСр, то

противления во всем полете, по сравнению с полным аэродина­ мическим сопротивлением для маневренных БЛА, значение за определяем приближенно по средним кинематическим парамет­ рам для всего полета, по формуле (1. 44)

Величина цт берется ориентировочно по статистике или на ос­ нове первоначальных оценок. Значения величин ßK, Ѳк и Ѳ0 при­ ведены на рис. 1.1. Величину qcp лучше определять по формуле

157

где с помощью формул (4. 13) находим

Подставляем найденные величины в выражение (4. 18):

С учетом этого выражения разрешаем уравнение (4. 15) от­ носительно dpr/dVK

1 -- (JLT 2 р \ 1 c x K.cp^K ^cp^a

(1 ^T)

Подставляем это выражение в уравнение (4. 14) и освобождаем­ ся от знаменателя

Сделаем некоторые упрощения в последнем выражении. Во-первых, обращаем внимание на то, что два члена, содержа­ щие в знаменателе величину р2, после раскрытия скобок взаим­ но уничтожаются. Далее, два члена, содержащие комплекс

Лкр-С Ср^а

1

‘ ср

158

также уничтожаются. Следовательно, после раскрытия скобок и умножения на рѴк получим

■ ^cp^aY^ra

Р2- 2^кр5к = 0.

аср?ср

Подставляем в это выражение значение величины р по фор­ муле (4. 12) и разрешаем получающееся уравнение относитель­ но 1/к3

Это окончательная формула для определения оптимальной ко­ нечной скорости. Следует заметить, что последний множитель за квадратными скобками, характеризующий влияние на Ѵк индук­ тивного сопротивления, во многих случаях близок к единице и поэтому его можно не вычислять, а принять равным единице. В качестве примера, применительно к траекториям, приведенным на рис. 4. 2, значения этого множителя приведены в табл. 4.1.

Ѵ — ІН)2ПумЯІр асР

Как видно из табл. 4.1 и формулы (4.2), пренебрежение влиянием на величину Ѵк индуктивного сопротивления (т]сс=0) для первых трех траекторий ведет к ошибке в определении Ѵк меньше 1,5%. Лишь в последней траектории эта ошибка доходит

159