Динамический хаос (ИПИС, ФКС)

r 2 1,346 фазовые траектории приближаются к неподвижной

точке по спирали, что соответствует затухающим осцилляциям. Чем больше параметр r , тем больше начальный размах этих осцилляций.

Рис. 69. Сепаратрисы 1 и 2 при r 1,346 , O1 и O2 – устойчивые фокусы.

Об этой ситуации говорят как о петле сепаратрисы. Другими словами это момент нелокальной бифуркации, когда имеет место перестройка структуры фазовых траекторий, которая не сводится к локальным изменениям в окрестности какой-то одной точки фазового пространства.

Переход через значение r 13,927 никак не отражается на свойствах стационарных режимов, отвечающих аттракторам

O1 и O2 , за тем исключением, что после него сепаратриса1 ведёт в точку O2 , а сепаратриса 2 – в точку O1 (см.

рис. 71).

Рис. 71. Сепаратрисы 1 и 2 при r 13,927 , L1 и L2 – неустойчивые замкнутые орбиты.

Можно дать физическую интерпретацию этой ситуации. В задаче о конвекции жидкости эта ситуация соответствует случаю, когда жидкость, начав вращаться в одну сторону с малой скоростью, в определённый момент времени изменяет направление своего вращения на противоположное. То же самое относится и к водяному колесу – начав вращаться по часовой стрелке, в определённый момент времени колесо останавливается и начинает вращаться в противоположном направлении с нарастающей, но осциллирующей скоростью. При этом больше направление вращения колеса не меняется и, спустя длительное время, колесо будет вращаться с постоянной установившейся скоростью, что соответствует захвату изображающей точки в фазовом пространстве одним из аттракторов – O1 или O2 .

При r 13,927 в глобальной структуре фазового пространства происходят существенные изменения. Во-первых, из каждой петли сепаратрисы рождается замкнутая траектория – неустойчивый предельный цикл (штриховые линии L1 и L2 на рис. 71). Во-вторых, появляется инвариантное множество 1– «странный репеллер» – сложно устроенное (фрактальное) отталкивающее множество траекторий.

Здесь под инвариантным множеством понимают совокупность точек фазового пространства, стартовав с которых, мы не выйдем за пределы этого множества. В нашем случае неустойчивые предельные циклы L1 и L2 также являются инвариантными множествами.

Лоренца, отвечающее хаотическому режиму движения. При этом точки O1 и O2 всё ещё остаются устойчивыми фокусами. Таким образом, в этом случае система имеет три аттрактора – фокусы O1 и O2 и странный аттрактор Лоренца.

Рис. 72. Сепаратрисы 1 и 2 при r 24,06 , L1 и L2 – неустойчивые замкнутые орбиты. В системе существует три аттрактора – фокусы O1 и O2 и аттрактор Лоренца.

темы носит сложный хаотический характер.