Динамический хаос (ИПИС, ФКС)
.pdf
t |
|
1 |
|
|
|
XY 4 2Z sin(2 y) |
|
|
2 |
|
|
|
|
T |
X ( 2 2 )Y |
|
cos( x)sin( y) |
|
|
|
|||
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 XZ cos( x)sin( y)cos(2 y).
Учитывая далее, что
sin( y)cos(2 y) |
1 |
sin(3 y) sin( y) , |
||
2 |
||||
окончательно получим |
|
|
||
|
1 |
|
|
|
t |
2 |
XY 4 2Z sin(2 y) |
||
|
|
|
|
|
|
|
T |
X ( 2 2 )Y XZ |
|
cos( x)sin( y) |
|
|
|
|||
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
XZ cos( x)sin(3 y) .
Далее подставляя |
t |
, |
отбрасывая слагаемое с |
||||
cos( x)sin(3 y) |
и |
приравнивая коэффициенты |
при |
||||
cos( x)sin( y) |
и |
sin(2 y) , имеем |
|
|
|||
|
T |
|
|
2 |
2 |
|
|
Y h X |
( |
|
)Y XZ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
, (106) |
|
|
|
1 |
XY 4 2Z . |
|
|
||
|
Z |
|
(107) |
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, получаем систему из трёх нелинейных дифференциальных уравнений
Y
X ( 2 |
2 ) X |
g Y |
|
|
|
|
|
2 2 |
hT X ( 2 2 )Y XZ Z 12 XY 4 2Z
. (108)
Далее поступим точно также, как ранее – введём безразмерные переменные x , y , z и :
X A x , Y B y , Z C z , t D , (92)
где A , B , C и D – некоторые постоянные. Тогда система (108) примет вид
B
D
|
A |
|
|
|
2 |
(1 a2 ) A x |
|
g ha |
B y |
||||||
|
D |
x |
h2 |
(1 a2 ) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y |
a |
T |
A x |
2 |
(1 a2 )B y |
2 |
a AC xz , |
||||||||
|
|
h2 |
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
C |
|
|
1 2 |
a ABx y |
4 |
2 |
C z |
|
|||||
|
|
D |
z |
2 h2 |
h2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y
|
x |
|
2 |
(1 a2 )D x |
g ha BD y |
|
||||||||||
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
(1 a2 ) |
A |
|
|
||
a |
|
T AD |
x |
|
|
2 |
(1 |
a2 )D y |
2 |
a |
ACD |
xz . |
||||
h2 |
|
B |
h2 |
h2 |
B |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
z |
1 2 |
a ABD x y 4 2 |
|
Dz |
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 h2 |
|
|
C |
|
h2 |
|
|
|
|
|
||
Удобно выбрать коэффициент D , как и ранее, равным
D |
|
h2 |
|
, |
|
|
2 |
a |
2 |
||
|
(1 |
|
) |
||
тогда получим
y
|
|
x |
x |
3 |
g h3a |
2 |
) |
2 |
B y |
|
|
|
|
|
|
(1 a |
|
|
A |
|
|||
|
|
T a A x |
y 1 |
|
|
|
|
a AC xz . |
|||
|
(1 a2 ) B |
1 a2 B |
|||||||||
|
z |
1 a |
|
AB x y |
1 |
4 |
z |
||||
|
|
|
2 1 a2 |
C |
|
|
a2 |
|
|||
Остальные коэффициенты A , B и C подберём так, чтобы, как и ранее
A |
|
g h3a |
|
|
2 , |
|
B |
3 |
a |
2 |
) |
||
|
(1 |
|
|
|||
и, кроме того,
|
1 a |
AB |
1 |
, |
2 1 a2 |
C |
|||
|
|
|
|
1 a |
AC |
1 . |
1 a2 |
B |
|
Отсюда нетрудно найти, что
A |
2 |
1 a2 |
|
a |
|
||
|
|
, |
|
|
|
|
(109) |
B 2 C |
2 3 (1 a2 )3 . |
|
|
|
|
g h3a2 |
|
В итоге система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих конвекционное движение жидкости в модели Лоренца примет окончательный вид
|
|
x y |
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y r x y xz , |
(110) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
z bz x y |
|
||
|
|
||
|
|
|
|
где b 4
(1 a2 ) . Полученная система уравнений называется системой Лоренца.