Динамический хаос (ИПИС, ФКС)
.pdf
Таким образом, получим
|
|
|
Y X Z DY , |
Z A XY DZ . |
(113) |
Производя далее в (112) и (113) замену переменных
X D x , Y cD y , Z cD z , t D ,
в результате вновь получим систему уравнений Лоренца
(110)
x x y
y r x y xz
z bz xy
где
|
|
, |
r |
cA |
, |
D |
D2 |
,
b 1 . (114)
Здесь параметр b оказался равным 1 потому, что рассматривалась трубка в виде круглого кольца. Если бы трубка имела эллиптическую форму, то параметр b уже отличался бы от 1.
Таким образом, видим, что решение задачи о конвекции в замкнутой трубке сводится к решению системы уравнений Лоренца.
Водяное колесо
Рассмотрим ещё одну физическую систему – водяное колесо (Gleick, 1987). Оно представляет собой колесо, установленное в вертикальной плоскости и располагающееся на горизонтальной оси, по ободу которого подвешены корзины с дырявым дном. Сверху на колесо льётся вода, которая, попадая в эти корзины, на некоторое время задерживается в них, но впоследствии вытекает из них через отверстия в дне (см. рис. 59).
Рис. 59. Водяное колесо – механическая модель системы Лоренца. При малом потоке воды сверху колесо остаётся в покое (а), при большем – вращается с постоянной скоростью (б), при очень большом – вращается хаотически, меняя время от времени направление вращения (в).
Качественно данная система очень похожа на рассмотренную ранее задачу о конвекции в трубке (просто теперь эта трубка перевёрнута «вверх ногами»), а падающий сверху поток воды ассоциируется с потоком тепла в предыдущей задаче. В связи с этим динамика такой системы описывается той же самой системой уравнений – системой Лоренца (110), однако фигурирующие в ней переменные и параметры уже имеют другой физический смысл.
Оказывается, что колесо будет вести себя по-разному в зависимости от интенсивности потока воды. При малой интенсивности колесо будет неподвижным. Если же поток воды увеличить, то колесо начнёт вращаться с постоянной скоростью. При ещё большей величине потока движение станет хаотическим и, более того, направление вращения будет время от времени изменяться. Изменит или не изменит колесо направление своего вращения в следующий момент времени, зависит от запаса скорости и наполненности корзин водой в данный момент времени. В этом случае динамика вращения колеса становится нетривиальной, и определить её подробности становится возможным только при помощи анализа уравнений движения.
Одномодовый лазер
Рассмотрим ещё одну физическую систему, которая описывается уравнениями Лоренца, – модель одномодового лазера (Ораевский, 1981, 1996).
Предположим, что имеется резонатор (см. рис. 60), в котором может возбуждаться одна мода – колебания электромагнитного поля на определённой частоте 0 и с фиксированной пространственной структурой.
Рис. 60. Схема одномодового лазера: E – электрическое поле резонатора, P – поляризация активной среды, D – инверсия населённостей уровней.
Устройство рассматриваемого лазера предполагает, что амплитуда колебаний поля может медленно изменяться с течением времени благодаря присутствию потерь и взаимодействию поля с активной средой, заполняющей резонатор. Активная среда состоит из атомов с двумя энергетическими уровнями, причём разность энергий между уровнями E 0 , где – постоянная Планка. Другими словами, частота переходя считается точно совпадающей с собственной частотой моды резонатора.
В устройство лазера также входит механизм накачки, благодаря которому атомы активной среды переходят с нижнего уровня на верхний, создавая, тем самым, инверсную заселённость.