Динамический хаос (ИПИС, ФКС)
.pdf
С учётом сказанного, в приближении Буссинеска, система уравнений (59) примет вид
0
|
v |
|
|
p 2 v g |
|
(v )v |
|||
|
t |
|
|
|
|
|
|
v 0 |
|
|
|
T |
|
(60) |
|
|
(Tv) 2T |
||
|
|
t |
||
0 (1 (T T0 ))
Преобразуем первое и третье уравнения системы (60).
Для этого представим температуру T в виде
T T T , |
(61) |
где
T T0 |
|
|
y |
|
T 1 |
|
(62) |
||
|
|
|
h |
|
задаёт линейный профиль температуры, а
T T (x, y,t)
определяет отклонение температуры от этого линейного профиля.
Тогда и плотность можно представить в виде, аналогичном (61)
, |
(63) |
где |
|
0 (1 (T T0 )) , |
|
0 T . |
(64) |
|
|
Но тогда и давление p можно разбить на две части |
|
p p p , |
(65) |
где |
|
|
|
|
p g dy 0 g T dy , |
(66) |
|||
p g dy 0 g (1 (T T0 ))dy |
||||
|
|
|
y |
|
0 g 1 |
T 1 |
dy |
||
|
|
|
h |
|
|
|
y |
2 |
|
p0 |
. |
0 g y T y |
|
|
||||
|
|
2h |
|
|
||
В результате
p p0 |
|
|
|
y |
0 g y 1 |
T 1 |
. (67) |
||
|
|
|
|
2h |
В этих формулах |
p – гидростатическое давление жидкос- |
|||
ти, рассчитанное по линейному профилю температуры, а p p(x, y,t) в (65) – отклонение давления p от p .
Учитывая (65) и (67), имеем
p p p g j p . (68)
Подставляя (63) и (68) в первое уравнение системы (60) и учитывая, что g g j , уравнение Навье-Стокса примет вид
|
v |
|
p 2 v g j , |
0 |
(v )v |
||
|
t |
|
|
0 v (v )v g j p 2 v ( )g j .
t
Подставляя 0 T из (64), получим
0 v (v )v p 2 v 0 gT j ,
t
v |
(v )v |
1 |
p |
2 v gT j , (69) |
t |
0 |
где введена кинематическая вязкость 
0 .
Аналогично преобразуем третье уравнение системы (60), подставив в него (61) и (62), получим
(T v) T v T v v T,
T T T hT j T ,
тогда
|
|
T |
|
|
|
|
T |
vj . (70) |
(T v) v |
h |
j T |
v T |
h |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
(71) |
||
T T T |
T |
. |
||||||
Подставляя (70) и (71) в третье уравнение системы (60), получим
T (T v) 2T ,t
T |
|
|
T |
2 |
t |
v T |
h |
vj T . (72) |
|
|
|
|
В итоге система (60) принимает вид
vt
(v )v |
1 |
p |
2 v gT j |
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
v 0 |
(73) |
||||
T |
|
|
|
T |
|
2 |
t |
v T |
|
h |
vj T |
||
|
|
|
|
|
||
При этом на верхний и нижний край слоя жидкости должны быть наложены следующие граничные условия, выражающие постоянство температуры и отсутствие потока жидкости через границу:
T y 0 T0 T , |
T y h T0 , |
или, подставляя (61), |
|
T
vj
y 0
y 0
0
0
,
,
T
vj
y h
y h
0
0
, (74)
. (75)