Динамический хаос (ИПИС, ФКС)
.pdf
Подставляя сюда выражение для x из первого уравнения системы Лоренца, имеем
u 2x( x y) b(u x2 ) 2 x y ,
u bu (2 b)x2 . (124)
Теперь во второе уравнение системы Лоренца подставим выражение для z (123) и выражение для y , вытекающее из первого уравнения
y x 1 x .
В результате получим
|
1 |
|
1 |
u x2 |
|
x |
x |
r x x |
x x |
2 |
, |
x x (r 1)x x x u x |
, |
||
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
2 |
|
x |
( 1) x (r 1)x x |
3 |
xu 0 . (125) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
Таким образом, система уравнений (124) и (125) оказывается эквивалентной системе Лоренца
x ( 1) x (r 1)x x |
3 |
xu |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
. (126) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u bu (2 b)x2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Дадим физическую интерпретацию полученной системе уравнений (126).
Предположим сначала, что u Const . Тогда уравнение (125) можно рассматривать как уравнение движения некоторого нелинейного осциллятора
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x Fx |
, |
|
||
где 1 |
– параметр диссипации, а |
||||||
Fx |
|
(r 1) |
u |
|
|
x3 |
|
|
2 |
x |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
||
– |
сила, действующая |
на осциллятор. |
Учитывая, что |
|||
Fx |
U x , потенциальная энергия осциллятора равна |
|||||
|
U (x) |
1 |
u |
(r 1) |
|
x4 |
|
2 |
|
x2 |
. (127) |
||
|
|
2 |
|
|
8 |
|
В области параметров, отвечающей |
сложной динамике, |
(r 1) 0 , так что при малых u |
коэффициент при |
квадратичном члене отрицателен, поэтому график потенциальной энергии имеет два симметрично расположенных минимума. При больших u , наоборот, коэффициент при квадратичном члене становится положительным и график для U (x) имеет только один минимум (см. рис. 61).
Рис. 61. График потенциальной энергии (127) нелинейного осциллятора при разных значениях параметра u .
Однако в нашей системе u не является параметром в обычном смысле слова, u является переменной, подчиняющейся уравнению (124). Эта переменная отслеживает изменение во времени величины x2 , но не мгновенно, а с инерцией и сглаживанием, которые количественно определяются коэффициентом b . Тогда динамику нашей системы можно представить как колебания, происходящие в одной из потенциальных ям, с перебросом время от времени в другую яму благодаря
изменению формы потенциала за счёт изменения величины
u .
Динамика системы Лоренца
Запишем систему уравнений Лоренца
|
|
x y |
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y r x y xz |
(110) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
z bz x y |
|
||
|
|
||
|
|
|
|
и рассмотрим динамику её решений.
В 1963 году Лоренц исследовал численное решение системы (110) для параметров 10, b 8 3, r 28 . Он обнаружил, что при таких значениях параметров в системе устанавливается хаотический автоколебательный режим. На рис. 62 приведены зависимости динамических переменных x , y и z от времени при вышеуказанных значениях параметров.
Рис. 62. Зависимости динамических переменных x , y и z от
времени, полученные численным интегрированием уравнений Лоренца при 10 , b 8
3, r 28 .