Динамический хаос (ИПИС, ФКС)
.pdf
Пусть En – значение комплексной амплитуды электрического поля на входе в нелинейную среду при n -м проходе по кольцевому резонатору, а A – амплитуда поля, создаваемого лазером. Тогда при первом проходе имеем
E1 A .
При распространении сигнала внутри нелинейной среды он преобразуется так, что на выходе имеем
|
|
|
E1 B E1 exp(i E1 |
2 ) |
, |
где B – |
параметр диссипации поля в резонаторе ( B 1), а |
||||
слагаемое |
E |
2 описывает нелинейный сдвиг фазы из-за |
|||
зависимости |
1 |
показателя преломления среды |
от амплитуды |
||
поля, т.е. |
n |
n(E) . |
|
|
|
При последующем обходе по кольцевому резонатору может появиться дополнительный сдвиг фаз , который может быть обусловлен отстройкой частоты излучения лазера от собственной моды резонатора. В результате, после полного обхода контура, амплитуда поля будет равна
E1 B E1 exp(i E1 |
2 i ) . |
Складывая данный сигнал с амплитудой поля лазера A , получим результирующую амплитуду поля на входе в нелинейную среду после одного прохода контура:
E2 A E1 A B E1 exp(i E1 |
2 i ) . (172) |
Таким образом, получили закон изменения амплитуды поля при одном проходе по контуру. Тогда после n проходов получим
E |
A B E |
exp(i E 2 |
i ) . (173) |
n 1 |
n |
n |
|
Преобразование (173) носит название отображения Икеды. Это двумерное отображение с дискретным временем. Покажем, что оно действительно двумерное. Для этого представим комплексную амплитуду поля в виде
En xn i yn , |
(174) |
где
xn Re En , |
yn Im En . |
Подставляя (174) в (173), получим
x i y A B (x i y ) exp i(x2 y2 ) i .
n 1 n 1 n n n n
Воспользовавшись формулой Эйлера
exp(i ) cos i sin ,
имеем
xn 1 i yn 1 A B (xn i yn )
cos(xn2 yn2 ) i sin(xn2 yn2 ) .
Разделяя вещественную и мнимую части, окончательно отображение Икеды можно представить в виде
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
) |
|
xn 1 |
A B xn cos(xn |
yn |
) yn sin(xn |
yn |
|
|||||
|
yn 1 |
B yn cos(xn2 yn2 |
) xn sin(xn2 |
yn2 |
) |
. (175) |
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как видно из формулы (175) отображение Икеды определяется тремя параметрами: A , B и .
Вычислим якобиан отображения Икеды. Для удобства введём обозначение: xn2 yn2 . Тогда имеем
|
xn 1 |
xn 1 |
|
J |
xn |
yn . |
(176) |
yn 1 |
yn 1 |
|
|
|
xn |
yn |
|
Вычислим производные:
xn 1 |
B cos 2xn2 sin 2xn yn cos |
xn |
|
|
B (1 2xn yn ) cos 2xn2 sin , |
xn 1 |
B 2xn yn sin sin 2 yn2 cos |
yn |
|
B 2 yn2 cos (1 2xn yn )sin ,
B2 (1 4xn2 yn2 )cos2 4xn2 yn2 sin2
2 yn2 (1 2xn yn ) 2xn2 (1 2xn yn ) cos sin
4xn2 yn2 cos2 (1 4xn2 yn2 )sin2
2xn2 (1 2xn yn ) 2 yn2 (1 2xn yn ) cos sin B2 .