Динамический хаос (ИПИС, ФКС)

Учитывая, что x(t) удовлетворяет уравнению (241)

ddtx F(x)

и пренебрегая членами второго и более высокого порядка по x в (246), находим, что эволюция малого возмущения x(t) в линейном приближении описывается уравнением

Решение уравнения (248) базируется на так называемой теореме Ляпунова.

где M – некоторое число, то тогда справедливы утверждения:

1)Для любого решения x(t) уравнения (248) существует ляпуновский характеристический показатель x – вещественное число, отличное от , определяемое как верхний предел .

2)При умножении решения x(t) на константу ляпуновский показатель не меняется, т.е.

4)Имеются N линейно независимых решений xi (t) уравнения (248) (фундаментальная система решений), N ляпуновских показателей

. Наибольшее из этих чисел

1 2 N

1называют старшим ляпуновским показателем, а всю совокупность значений { 1, 2 , , N } – спектром ляпуновских показателей.

Присутствие в этом спектре показателя означает, что существует такое возмущение x(t) исходной траектории x(t) , которое будет эволюционировать как

x(t) exp( t) .

Следовательно, если 0 , то возмущение x(t) будет расти с течением времени, если же 0 – будет уменьшаться, стремясь к нулю.

Таким образом, исследование траектории на устойчивость сводится к определению спектра её ляпуновских показателей. Если хотя бы один из этих показателей окажется положительным, это будет означать неустойчивость рассматриваемой фазовой траектории системы. Если же все показатели отрицательны, то это говорит об асимптотической устойчивости траектории. Если же старший показатель оказывается нулевым, то это говорит о недостаточности линейного анализа для заключения об устойчивости или неустойчивости траектории.

В виду отмечавшейся ранее связи между неустойчивостью траекторий и хаосом можно сделать следующий вывод. Если хотя бы один из ляпуновских показателей системы положителен, то тогда динамика системы будет хаотичной.

Геометрический смысл ляпуновских показателей

Представим себе ансамбль систем, каждая из которых описывается уравнением (241)

ddtx F(x) .

Пусть все эти системы отличаются друг от друга начальными условиями, так что в фазовом пространстве ансамбль систем имеет форму шарообразного облака изображающих точек малого радиуса с центром на некоторой траектории x(t) (см. рис. 109). Посмотрим, что будет происходить с этим облаком с течением времени.

Рис. 109. Геометрическая интерпретация спектра ляпуновских показателей.

С течением времени каждая точка облака будет двигаться по своей траектории. Как было показано ранее, отклонение x(t) каждой точки облака от траектории x(t) будет подчиняться уравнению (248)

d x Ax . dt

xi (t) exp( it) ,

где i – один из ляпуновских показателей системы.

Это означает, что с течением времени форма и размеры облака будут изменяться. Так, спустя время T после начала движения, облако будет иметь вид N -мерного эллипсоида с размерами по главным полуосям 1, 2 , , N , где

В этом и заключается геометрический смысл ляпуновских показателей: величины { 1, 2 , , N } определяют степени сжатия или расширения эллипсоида изображающих точек вдоль его главных полуосей.