Динамический хаос (ИПИС, ФКС)

Устойчивость и неустойчивость траекторий

Как говорилось ранее, наличие хаотической динамики тесно связано с неустойчивостью, присущей фазовым траекториям системы. В качестве примера, на рис. 107 представлены временные зависимости одной из динамических переменных для модели Лоренца, задаваемой системой уравнений (110)

Рис. 107. Чувствительность решений уравнения Лоренца к

Все эти зависимости z(t) получены решением одной и той же системы (110), демонстрирующей хаотическую динамику, при слегка отличающихся друг от друга начальных условиях. Из рис. 107 видно, что все эти зависимости практически неотличимы на начальном участке, но с течением времени различие между ними увеличивается и в итоге картина движения размазывается. Такое расхождение траекторий спустя длительное время обуславливается различиями в начальных условиях, несмотря на то, что они были малы. В этом случае говорят о неустойчивости фазовых траекторий системы.

Таким образом, как видно из рис. 107, движение системы Лоренца можно с хорошей точностью прогнозировать лишь на небольшом начальном интервале времени (в нашем случае до t 30 ). При t 30 описывать движение системы обычным способом, т.е. решая систему уравнений (110), не имеет смысла и следует использовать уже другие методы описания, например, статистические.

Связь между хаосом и неустойчивостью фазовых траекторий можно отследить и для других модельных систем, изученных нами ранее. Именно присутствие неустойчивости даёт возможность соединить, казалось бы, несоединимое – динамическую природу системы (предсказуемость) и хаос (непредсказуемость).

Устойчивость по Ляпунову

Рассмотрим динамическую систему, описываемую автономной системой дифференциальных уравнений

где x – N-мерный вектор. Рассмотрим одну из траекторий x(t) системы с началом в точке x0 . Выберем ещё одну траекторию y(t) с началом в произвольной точке y0 , близкой к x0 , так, чтобы в начальный момент времени траектории были близки. Если обе эти траектории остаются близкими и в любой последующий момент времени, то траектория x(t) называется устойчивой по Ляпунову.

– длина вектора x , а

– расстояние между точками с координатами x и y .

Рис. 108. Качественная картина устойчивости по Ляпунову

– две близкие в начальный момент времени траектории остаются близкими в любой последующий момент времени.

Соответственно, если условие (242) не выполняется, то траектория x(t) называется неустойчивой по Ляпунову.

Траектория x(t) может обладать и более сильным свойством – асимптотической устойчивостью. Траектория x(t) называется

Теорема Ляпунова. Ляпуновские показатели

Рассмотрим подробнее, как проводится анализ траекторий системы на устойчивость по Ляпунову. Пусть нам необходимо исследовать на устойчивость траекторию x(t) . Для этого выберем близкую к ней траекторию

соответствующую немного изменённому начальному условию. Здесь x(t) – некоторая малая добавка, определяющая различие между траекториями.

Т.к. y(t) является также траекторией системы, то она должна удовлетворять дифференциальному уравнению (241), т.е.

Учитывая малость отклонения x , разложим функцию F в ряд по x .