Динамический хаос (ИПИС, ФКС)

Ляпуновские показатели аттракторов

Возьмём некоторую диссипативную систему и рассмотрим её динамику в установившемся режиме движения. Такая динамика должна соответствовать динамике на аттракторе

аттрактору. Возникает вопрос: можно ли вообще говорить о ляпуновских показателях аттрактора, т.е. можно ли аттрактор охарактеризовать некоторым спектром ляпуновских показателей { 1, 2 , , N } ?

Оказывается можно. Математическую основу для этого утверждения даёт так называемая мультипликативная эргодическая теорема В.И. Оселедеца (1968):

Если на аттракторе определена естественная инвариантная мера, то этот аттрактор обладает определённым спектром ляпуновских показателей { 1, 2 , , N } .

Спектр ляпуновских показателей аттрактора должен удовлетворять следующим требованиям:

1) Сумма всех N показателей должна быть отрицательна:

i 1

Это условие диссипативности системы, благодаря которому аттрактор является притягивающим множеством нулевой меры в фазовом пространстве, на котором концентрируется с течением времени облако изображающих точек.

Справедливость условия (253) легко проверить, используя геометрический смысл ляпуновских показателей. Для этого вернёмся к рис. 109. Рассмотрим объём начального шарообразного облака изображающих точек

V0 C N,

где C – некоторая постоянная.

Т.к. рассматриваемая система – диссипативная, то объём облака должен уменьшаться с течением времени, что будет возможно только при выполнении условия (253).

2) Если аттрактором является неподвижная точка, то все ляпуновские показатели такого аттрактора отрицательны, т.е.

1 0, 2 0, , N 0 .

3) В спектре аттрактора, отличного от неподвижной точки, обязательно должен присутствовать нулевой ляпуновский показатель.

Теперь обсудим, какими могут быть знаки ляпуновских показателей аттракторов при различной размерности N фазового пространства. Будем считать, что все показатели упорядочены в порядке убывания, т.е.

1 2 N .

Положительные показатели будем обозначать знаком «+», отрицательные – знаком «–», нулевые – цифрой «0». Тогда каждому аттрактору будет отвечать определённый набор N знаков, например,

,0,0, , , ,

который будем называть сигнатурой аттрактора.

1. N 1 .

В этом случае возможен только один вариант сигнатуры:, что соответствует аттрактору в виде неподвижной точки – состоянию равновесия (см. рис. 110).

Рис. 110. Аттрактор в виде неподвижной точки в одномерном фазовом пространстве.