Динамический хаос (ИПИС, ФКС)
.pdf
Фазовое пространство такой системы трёхмерно, поэтому
спектр ляпуновских показателей должен состоять из трёх |
|
величин. При «классическом» наборе |
параметров r 28 , |
10 , b 8 3 численный расчёт |
даёт следующие |
значения для ляпуновских показателей |
|
0,897 , |
|
2 |
0 , 3 |
14,563 , |
1 |
|
|
|
|
что соответствует сигнатуре ,0, . |
Их сумма вновь |
|||
оказывается отрицательной |
|
|
|
|
1 2 3 |
13,666 ( b 1) , |
|||
что говорит о диссипативности системы Лоренца и согласуется с наличием аттрактора. Наличие же положительного старшего ляпуновского показателя 1 говорит о хаотической природе аттрактора Лоренца.
3. Логистическое отображение.
Ранее нами было показано, что логистическое отображение (8)
|
|
xn 1 1 xn2 |
(8) |
||
при 2 |
обладает |
ляпуновским |
показателем ln 2 . |
||
При произвольных же |
аналитически рассчитать показатель |
||||
|
весьма |
затруднительно. В |
этом случае |
приходится |
|
рассчитывать его численно. Результаты таких расчетов приведены на рис. 117.
Рис. |
117. Зависимость ляпуновского показателя |
|
логистического отображения (8) от параметра . |
|
|
Из рис. |
117 |
видно, |
что |
при |
значении |
параметра |
||
|
1, 4 |
имеем критическую точку, |
которая разделяет |
|||||
областиc |
регулярной |
и |
хаотической |
динамики. При |
||||
ляпуновский |
показатель |
в основном отрицателен и |
||||||
равен c нулю |
только |
в |
отдельных |
точках, |
отвечающим |
|||
бифуркациям удвоения периода (см. рис. 118). В этом случае движение системы регулярно.
Рис. 118. Характеристики логистического отображения: а) бифуркационная диаграмма; б) показатель Ляпунова.
При |
имеется |
множество значений параметра , |
при которыхcпоказатель |
положителен, а значит, при таких |
|
динамика системы хаотична. Это множество сложно и тонко устроено (как выяснится далее, оно является фракталом). Однако, как видно из графика, при определённых из области c ляпуновский показатель может принимать и отрицательные значения. В этом случае динамика системы снова становится регулярной. Такие значения соответствуют ранее рассмотренным окнам периодичности (см. рис. 118).
Такая зависимость ляпуновского показателя от параметра системы характерна не только для логистического отображения, но и для широкого класса диссипативных нелинейных систем, демонстрирующих переход к хаосу через удвоение периода.
Самоподобие в бифуркационной диаграмме логистического отображения.
Самоподобие в зависимости ляпуновского показателялогистического отображения от параметра .
Самоподобие в отображении Заславского