Динамический хаос (ИПИС, ФКС)
.pdf
2) r 1 .
В этом случае одно из собственных значения (148) положительно:
1 0 , 2 0 , 3 0 .
Следовательно, в этом случае неподвижная точка O является неустойчивой – седло-узел.
С такими результатами мы уже сталкивались ранее, когда
рассматривали задачу о конвекции в подогреваемом снизу слое |
||
жидкости. Тогда под параметром |
r мы понимали отношение |
|
числа Рэлея |
R к некоторому критическому значению Rc : |
|
r R Rc . |
Решая задачу Рэлея, |
мы приходили к выводу, что |
при слабом |
нагреве жидкости, |
т.е. когда R Rc ( r 1), |
жидкость остаётся в покое и никакого конвекционного течения не обнаруживается.
Другими словами при R Rc ( r 1 ) состояние покоя, характеризуемое неподвижной точкой O , является устойчивым. При сильном же нагреве, когда R Rc ( r 1 ), наоборот, жидкость более не может находиться в состоянии покоя и приходит в конвекционное движение, что и означает то, что состояние покоя O теряет свою устойчивость.
Таким образом, мы только что воспроизвели результат, ранее полученный Рэлеем.
B) Анализ устойчивости точек O1 и O2 . |
|
||
Обратимся теперь к двум другим неподвижным точкам O1 |
и |
||
O2 , которые, как было показано ранее, существуют только при |
|||
r 1 . В этом случае для точек O1 и O2 имеем: |
|
||
(x0 , y0 , z0 ) ( |
b(r 1), |
b(r 1), r 1) . |
|
Тогда характеристическое уравнение (146) примет вид
( ) ( 1) ( b) x02 ( b)(z0 r) x0 y0 0 ,
( ) ( 1)( b) b(r 1) ( b) b(r 1) 0 .
После алгебраических преобразований получаем кубическое уравнение
3 ( b 1) 2 b( r) 2 b(r 1) 0 . (149)
Исследование решений уравнения (149) показывает, что здесь возможны несколько ситуаций:
1) 1 r r0 .
В этом случае все три корня уравнения (149) вещественны и отрицательны:
1 0 , 2 0 , 3 0 .
Следовательно, в этом случае неподвижные точки O1 и O2 является устойчивыми узлами. Расчёты показывают, что для
«классического» набора параметров 10, b 8 3 значение
r0 1,346 .
2) r0 r rc .
В этом случае один корень уравнения (149) вещественен и отрицателен, а два другие являются комплексно-сопряжёнными с отрицательной вещественной частью:
1 0 , 2,3 i ,
где 0 . В этом случае неподвижные точки O1 и O2 называются устойчивыми фокусами.
3) r rc . |
|
|
r rc |
|
|
|
При переходе через |
точку |
вещественная |
часть |
ком- |
||
плексно-сопряжённых |
корней уравнения (149) меняет |
знак, |
||||
т.е.: |
|
|
|
|
|
|
1 0 |
, |
2,3 |
i , |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
где . При таком |
переходе |
неподвижные точки |
O и |
|||
O2 одновременно теряют свою устойчивость и при |
r rc уже |
|||||
являются неустойчивыми. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|