Динамический хаос (ИПИС, ФКС)

То же самое можно сказать и про аттрактор, соответствующий системе Лоренца: он либо должен переходить сам в себя при замене x x , y y , либо должен состоять из нескольких симметричных частей, переходящих друг в друга при замене x x , y y . Из рис. 63 можно видеть, что аттрактор Лоренца обладает указанной симметрией.

2. Ограниченность области, где может располагаться аттрактор

В фазовом пространстве системы Лоренца можно указать такую ограниченную замкнутую область, в которую фазовые траектории могут только входить, а покидать её они не могут. Именно внутри указанной ограниченной замкнутой области и должен располагаться аттрактор системы Лоренца.

Для доказательства этого рассмотрим систему уравнений Лоренца (110) и введём в них новую переменную w r z , тогда

w z bz x y b w br x y .

Функции E(x, y, w) можно дать наглядную геометрическую интерпретацию. Уравнение E 0 , т.е.

задаёт в пространстве переменных (x, y, w) эллипсоид с центром, смещённым относительно начала координат

(см. рис. 65).

Рис. 65. Поверхность E(x, y, w) 0 при значении параметров: b 83 , r 28 .

также будет задавать в пространстве (x, y, w) некоторый эллипсоид. Выберем значение константы таким большим, чтобы эллипсоид S (133) полностью содержал внутри себя предыдущий эллипсоид E 0 (см. рис. 66).

параметров: 10 , b 83 , r 28 .

Тогда в любой точке поверхности эллипсоида S функция E 0 , а значит,

ограниченной ею области. Следовательно, каким бы ни был аттрактор системы уравнений Лоренца, он обязан располагаться внутри эллипсоида S .

3. Диссипативность системы Лоренца

Систему уравнений Лоренца (110) можно записать в другой форме

где x {x, y, z}, а

F(x) { ( y x), r x y xz, bz x y}

– векторное поле, составленное из правых частей уравнений Лоренца (110), которое имеет смысл поля

пространстве.