Динамический хаос (ИПИС, ФКС)

Таким образом, модель Лоренца описывает динамическую систему с трёхмерным фазовым пространством, мгновенное состояние которой определяется набором трёх переменных (x, y, z) , а оператор эволюции задан уравнениями (110).

Физический смысл величин, фигурирующих в уравнениях Лоренца, можно установить из соотношений (84) и (86):

x – характеризует скорость вращения конвекционных валов; y и z – отвечают за распределение температуры, соответственно, по горизонтали и по вертикали;

b – определяется геометрией конвекционной ячейки, а

При численном решении системы (110) на компьютере Лоренц обнаружил, что при определённых значениях параметров b , и r в исследуемой системе устанавливался хаотический режим движения. Эта хаотичность в движении являлась следствием нелинейности системы уравнений Лоренца. Возможность существования хаотических траекторий у детерминированной системы стало важным открытием, повлиявшим впоследствии на дальнейшее развитие теории динамического хаоса.

Рис. 62. Зависимости динамических переменных x , y и z от

времени, полученные численным интегрированием уравнений Лоренца при 10 , b 83, r 28 .

Рис. 107. Чувствительность решений уравнения Лоренца к

Физические задачи, сводящиеся к системе Лоренца

Оказывается, помимо задачи о конвекции в подогреваемом снизу слое жидкости, существует ещё много других физических систем, в которых происходящие в них процессы описываются теми же самыми уравнениями Лоренца (110). К таким задачам, например, относят задачу о конвекции в замкнутой петле, задачу о водяном колесе, задачу о динамике одномодового лазера и т.п.. Рассмотрим их более подробно.

Рис. 58. Задача о конвекции в замкнутой кольцевой трубке. X характеризует скорость течения, Y и Z – отклонение температуры от среднего значения в указанных точках.

Пусть – угловая координата, отсчитываемая от нижней точки трубки против часовой стрелки. Тогда зависимость температуры от угла T T ( ) должна быть периодической функцией с периодом 2 , поэтому её можно представить в виде ряда Фурье. Ограничиваясь учётом только первых членов разложения (первой гармоники), можем записать

жидкости. Поскольку жидкость практически несжимаема, то эту скорость можно считать одной и той же в любом сечении трубки, т.е. не зависящей от .

Сконструируем уравнения, описывающие изменения во времени динамических переменных X , Y , Z , из простых качественных соображений.

Если провести тщательный анализ движения жидкости в трубке, то можно заключить, что изменение её скорости течения обуславливается архимедовой силой, которая

где c и – некоторые постоянные.

Теперь составим уравнения для Y и Z . Предположим

сначала, что имеет место течение с постоянной скоростью

X Const . Тогда можно записать

T T ( X t) T0 1 Y sin( X t) Z cos( X t) .

Вводя обозначение X t , имеем

Отсюда видно, что перенос температуры потоком жидкости учитывается членом вида X Z в уравнении для Y и членом ( XY ) в уравнении для Z . В оба уравнения следует добавить ещё члены, учитывающие релаксацию, которые должны иметь вид, соответственно, ( DY ) и ( DZ) , где D – константа, а также необходимо учесть подогрев добавлением постоянного члена A в уравнение для Z .