Динамический хаос (ИПИС, ФКС)

где a – некоторая постоянная. Выбор функции (x) в виде (164) соответствует так называемой модели Эно.

Тогда преобразование (161) запишется в виде

Это преобразование называется отображением Эно (Henon map). Оно впервые было рассмотрено французским астрофизиком Мишелем Эно в 1976 году. Как видим, отображение Эно относится к отображениям с дискретным временем. Помимо нашей частицы, отображением Эно описывается также динамика и других физических систем – например, диссипативный осциллятор и ротатор под импульсным периодическим воздействием (Heagy, 1992).

Вычислим якобиан отображения Эно:

двумерно, значит, его мерой является площадь. Рассмотрим область фазового пространства, обладающую изначально площадью S . Тогда равенство (166) означает, что эта область фазового пространства будет эволюционировать с течением времени так, что после каждой итерации её площадь будет умножаться на фактор

Так после первой итерации площадь станет равной S1 | b | S , после второй – S2 | b |2 S , после n-й – Sn | b |n S . В общем случае можно рассмотреть следующие варианты:

1)если | b | 1 , то с каждой итерацией, занимаемая системой площадь будет уменьшаться, стремясь к нулю. В этом случае отображение Эно является диссипативной системой, у которой должен присутствовать аттрактор;

2)если | b | 1 , то площадь, занимаемая системой, будет сохраняться. В этом случае отображение Эно является консервативной системой.

Эно в своей работе провёл исследование динамики системы (165) при различных значениях параметров a и b . Он обнаружил, что в зависимости от выбора этих параметров система может двигаться либо регулярно, либо хаотически. В области хаотической динамики Эно обнаружил также появление странного аттрактора. Так, на рис. 76 показано, как

смотрены в исходной работе Эно).

Рис. 76. Странный аттрактор отображения Эно (165) при значениях параметров a 1,4 и b 0,3 .

Как было сказано ранее, характер движения системы зависит от выбора параметров a и b . Изменяя параметры a и b , мы можем влиять на режим движения системы. Более наглядное представление о движении системы даёт карта динамических режимов – это диаграмма на плоскости, где по

определённым цветом в зависимости от того, какой тип динамики реализуется в системе при данных значениях a и b.

Карту динамических режимов можно построить на компьютере следующим образом:

1)В каждой точке плоскости параметров (a,b) численно решается дифференциальное уравнение или итерируется отображение, задающее динамику исследуемой системы.

2)Полученные решения анализируются и определяется характер динамики системы при данных значениях a и b , т.е. определяется то, каким является движение – регулярным или хаотическим, периодическим или непериодическим, если периодическим, то с каким периодом и т.п..

3)Точке с координатами (a,b) присваивается цвет, зависящий от типа динамического режима, установленного в предыдущем пункте.

4)Каждая точка (a,b) отождествляется с пикселем графического изображения.

В результате получаем изображение, состоящее из пикселей разных цветов – это и есть карта динамических режимов.

Из-за того, что нелинейным системам часто присуща мультистабильность (наличие нескольких аттракторов), карту динамических режимов таких систем, вообще говоря, надо представлять не как один лист, а как совокупность листов, перекрывающихся в тех областях параметров, где система имеет более одного аттрактора. Другими словами, в общем случае, каждой точке (a,b) может соответствовать не один, а несколько различных режимов движения, т.е. каждому пикселю карты динамических режимов может соответствовать не один, а несколько цветов.

Так, при определённых параметрах a и b может оказаться, что при выборе одних начальных условий система будет эволюционировать к одному аттрактору, а при выборе других начальных условий – к другому аттрактору. Следовательно, при данных a и b одновременно возможны сразу несколько режимов движения. Именно в таких случаях карту динамических режимов следует считать многолистной.

Рассмотрим карту динамических режимов отображения Эно. Она представлена на рис. 77.