§ 2. Отношения между понятиями

Ав: Здравствуйте, друзья! Подумайте над следующей задачей: кого в мире больше – отцов, сыновей или мужчин?

Сс: Конечно, мужчин. Ав: А потом?

Сс: Ну, наверное, отцов, а потом сыновей. Хотя с сыновьями и отцами не очень ясно.

Ст. Подождите, мы же уже умеем изображать объемы понятий при помощи кругов Эйлера. (Подходит к доске и рисует следующую картинку:

Мужчины

Отцы

Сыновья

Рис. 1

Получится вот так! Здорово, взяли и нарисовали мысли! Сс: Ты уверен, что это правильно?

Ст: Ты сам так сказал.

Сс: Я-то сказал… Но правильно ли я сказал?

Ав: Да, это очень хороший вопрос. Давайте посмотрим. (Обращается к рисунку Студента-тугодума). Рассмотрим какой-нибудь предмет, который входит в объем понятия «отец», но не входит в объем понятия «сын», как нарисовано на вашей картинке. (Подходит к доске и ставит точку в круге «отцы» следующим образом:

Мужчины

Отцы •

Сыновья

Рис. 2

64

Что же получается? У вас существуют отцы, которые не являются сыновьями. Это хорошо?

Ст: Нет, этого не может быть.

Сс: Да, но то же самое можно сказать и о понятиях «сын» и «мужчина». У нас получилось, что не каждый мужчина – сын.

Ав: Придется нам в этом деле разобраться.

Наше рассмотрение объемов понятий и множеств показывает, что один и тот же объект может быть элементом объема различных понятий. Так, Иван Петрович Сидоров одновременно может быть элементом объемов понятий «человек», «студент», «мужчина», «спортсмен», «избиратель» и т.п. Уже этот простой факт показывает, что данные понятия вступают между собой в определенные отношения, поскольку имеют общий элемент. Но ведь a priori1 можно предположить, что в определенные отношения вступают и те понятия, которые не имеют общих элементов – ведь это уже само по себе определенное отношение.

Рассмотрим произвольную пару понятий A и B.

Понятия A и B назовем с р а в н и м ы м и , если в содержаниях этих понятий имеется хотя бы один общий признак.

П р и м е р . Понятия «мужчина» и «женщина» сравнимы, поскольку в их содержаниях есть общий признак «быть человеком».

Почти все понятия сравнимы. Даже божий дар и яичница в нашей логической онтологии являются предметами, а следовательно, имеют в своем содержании общий признак. Обратите внимание, что в этом определении речь идет не об основном содержании, а обо всем содержании понятия. Поэтому почти у каждой пары понятий можно найти общий признак.

Понятия A и B назовем н е с р а в н и м ы м и , если в содержаниях этих понятий не встречается ни одного общего признака.

Мы не будем иметь дела с несравнимыми понятиями, поэтому не будем их подробно рассматривать.

До сих пор речь шла о содержании понятий. Содержание представляет собой сложный признак, в котором могут встречаться много простых признаков, соединенных различным образом (через «и», «или» и т.п.). Поэтому с рассмотрением соотношения понятий по содержанию возникают сложности. Чтобы избежать неточностей, можно было бы ограничиться основным содержанием понятий, как оно определено в § 2 этой главы. Для этого надо в определениях заменить слово «содержание» на слово «основное содержание». Однако надо иметь в виду, что в таком случае сравнимость и несравнимость понятий будет зависеть от того, каким образом мы сформулируем основное содержание понятий.

Более точной является теория отношений понятий по объему.

1 Из предшествующего — лат.; в философии: до всякого опыта.

65

Рассмотрим пару сравнимых понятий A и B.

Понятия A и B назовем с о в м е с т и м ы м и , если объемы этих понятий имеют хотя бы один общий элемент

П р и м е р . Понятия «футболист» и «гений» совместимы, потому что существуют гениальные футболисты, например, Эдуард Стрельцов или Пеле.

Понятия A и B назовем н е с о в м е с т и м ы м и , если в объемах этих понятий нет ни одного общего элемента.

П р и м е р . Понятия «божий дар» и «яичница», как предполагается в поговорке «спутал божий дар с яичницей», несовместимы, т. е. ни один объект по имени «божий дар» не является в то же время объектом по имени «яичница». Короче говоря, эта поговорка гласит, что ни одна яичница не является божьим даром и наоборот.

Если обозначить объем понятия тем же символом, что и само понятие, то условие совместимости двух понятий можно записать так:

А В ,

а условие несовместимости так:

АВ= .

Вотличие от сравнимости-несравнимости понятий нас будут интересовать как виды совместимости, так и виды несовместимости понятий.

Виды совместимости

Представим себе возможные случаи совместимости двух понятий A и B. Вопервых, может быть так, что объемы понятий A и B совпадают. Во-вторых, может быть так, что объем понятия B целиком входит в объем A, но в то же время имеются такие элементы A, которые не являются элементами объема понятия B. В-третьих, может быть так, что объемы понятий имеют общую часть, но есть такие элементы объема понятия B, которые не являьтся элементами объема понятия A и наоборот.

Рассмотрим эти три случая подробнее.

Понятия A и B назовем р а в н о з н а ч н ы м и , если объемы этих понятий состоят из одних и тех же элементов.

Отношения между понятиями по объему удобно иллюстрировать кругами Эйлера. В данном случае получится следующий рисунок:

А, В

Рис. 3

66

П р и м е р . Следующие понятия являются равнозначными: (A) Луна и (B)

естественный спутник Земли; (A) квадрат и (B) равносторонний прямоугольник; (A) дочь и (B) женщина; (A) сын и (B) мужчина; (A) сын и (B) внук.

Понятие B п о д ч и н я е т с я понятию A, если объем B является собственным подмножеством объема A.

Несложно заметить, что вид понятия подчиняется самому этому понятию, а любое понятие подчиняется своему роду.

При помощи кругов Эйлера это отношение изобразим таким образом:

А

В

Рис. 4

Пример: Следующие понятия находятся в отношении подчинения: (B) студент и

(A) человек; (B) человек и (A) животное; (B) историк и (A) гуманитарий; (B) мать и (A)

дочь — все это пары понятий, из которых первое подчиняетсэ второму.

Рис. 5

Пр и м е р . (A) студент и (B) спортсмен, (A) женщина и (B) красивый человек,

(A)монархия и (B) демократическое государство — все это пары перекрещивающихся понятий.

Как устанмвить, в каком отношении находятся совместимые понятия? Для этого следует задать нашим понятиям A и B два вопроса:

1.Все ли A являются B?

2.Все ли B являются A?

Если мы на оба вопроса отвечаем «да», то получаем отношение равнозначности.

67

Если мы на первый вопрос отвечаем «да», а на второй — «нет», то понятие A

подчиняется понятию B.

Если мы на первый вопрос отвечаем «нет», а на второй — «да», то понятие B

подчиняется понятию A.

Если мы на оба вопроса отвечаем «нет», то получаем отношение перекрещивания,

П р и м е р . Рассмотрим понятия «сын» и «мужчина». Причем под мужчиной будем понимать человека мужского пола. Зададим наши вопросы.

Все ли сыновья являются мужчинами? – Да. Все ли мужчины являются сыновьями? – Да.

Следовательно, мы получили отношение равнозначности.

П р и м е р . Теперь рассмотрим отношения между понятиями «сын» и «отец».

Всякий ли сын является отцом? – Нет. Всякий ли отец является сыном? – Да.

Мы получили отношение подчинения, причем понятие «отец» подчиняется понятию «сын»1.

Это дает нам решение задачи, приведенной в диалоге наших персонажей в начале этого параграфа. Графически это решение можно представить следующим образом:

Мужчина, сын

Отец

Рис. 6

Если подытожить наше рассмотрение видов отношения совместимости, то мы получим следующую диаграмму:

Совместимые

Равнозначность Подчинение Перекрещивание

Рис. 7

1 Обратите внимание, что логические отношения между понятиями отличаются от обычных отношений старшинства в семье.

68

Виды несовместимости

Отношение несовместимости не менее практически важно для мышления, чем отношение совместимости. В нашем мышлении часто возникает задача показать несовместимость некоторых мыслей, например, в дискуссиях. Тогда нам необходимо знание отношений несовместимости между мыслями и умение его выявлять.

Отношения между несовместимыми понятиями мы будем делить на два вида:

соподчинение и противоречие.

Понятия A и B называются с о п о д ч и н е н н ы м и , если существует третье понятие C, такое, что A подчиняется C и B подчиняется C, и существует элемент объема понятия С, который не входит ни в объем понятия А, ни в объем понятия B.

Графически это отношение можно изобразить так:

С

А В

Рис. 8

Пр и м е р . Понятия (A) «студент» и (B) «школьник» соподчинены понятию (C)

«учащийся», потому что «студент» подчиняется понятию «учащийся», «школьник»

подчиняется тому же понятию, но существуют еще учащиеся, например, аспиранты, которые не являются ни школьниками, ни студентами.

Пр о т и в о р е ч а щ и м и называются понятия A и B, если существует третье понятие C, такое, что A подчиняется C и B подчиняется C и не существует такого элемента объема понятия C, который бы не был элементом объема понятия A или элементом объема понятия B.

Короче говоря, прориворечащие понятия делят объем третьего понятия ровно на две несовместимые части.

Графически это отношение между понятиями можно изобразить так:

С

А В

Рис. 9

69

П р и м е р . Понятия (A) «монархия» и (B) «республика» являются противоречащими понятиями, потому, что они несовместимы и оба подчинены понятию (C) «форма правления государства», и никакой другой формы правления, кроме монархии и республики, нет.

П р и м е р . Если отвлечься от наличия среди (C) людей гермафродитов и транссексуалов, то противоречащими понятиями будут понятия (A) «мужчина» и (В)

«женщина».

Самый простой1 способ образования понятия, противоречащего данному, – это добавление к имени, выражающему данное понятие, частицы «не». «Человек» – «нечеловек», «совместимые понятия» – «несовместимые понятия» и т.п. При этом только всегда надо представлять объем какого третьего понятия они делят на несовместимые части.

Отношение противоречия – одно из самых важных в логике. Впоследствии мы будем изучать специальный закон (не)противоречия. На отношении противоречия основывается такая важная логическая операция, как дихотомическое деление, которое мы с вами подробнее изучим в главе 7.

«Tertium non datur» – «третьего не дано» – этой старинной формулой может быть описано отношение противоречия. Если же понятия находятся в отношении соподчинения, то «третье» дано, но дано оно может быть по-разному. Поэтому среди понятий, находящихся в отношении соподчинения, мы выделим простое соподчинение и противоположность.

Понятия A и B находятся в отношении п р о т и в о п о л о ж н о с т и , если A и B соподчинены третьему понятию C и представляют собой крайние степени выраженности некоторого качества.

Определение кажется сложным, но, в принципе, имеет простое содержание, что сразу же выяснится на рисунке и примерах. Учет крайних степеней выраженности качества выходит за пределы логики, поскольку имеет отношение уже не к форме мысли, а к ее содержанию. Поэтому выделение в рамках отношения соподчинения еще и отношения противоположности имеет нелогический характер, однако мы приводим его из-за его близости логике (оно «почти логическое») и практической (и даже философской!) важности

Графически это отношение традиционно изображается следующим образом:

Рис. 10

1 И верный!

70

Отметим, что, строго говоря, между диаграммой, изображающей отношение соподчинения, и только что приведенной диаграммой никакого различия нет. То, что круги A и B примыкают к диаметрально противоположным точкам окружности C, просто означает тот (нелогический) факт, что A и B представляют крайние случаи выраженности некоторого качества, присущего элементам C.

Пр и м е р . Пусть понятием C будет «цвет». Тогда A – это «белый цвет», а B – это «черный цвет». Понятно, что они представляют собой крайние степени выраженности качества цвета.

Пр и м е р . Пусть C – это понятие «человек». Тогда A – это «мудрец», B – это «глупец». Последние понятия представляют собой крайние степени наличия у человека

ума, а между ними расположено множество людей со средними умственными способностями1.

В свое время Аристотель разработал теорию, согласно которой добродетель – это среднее между двумя крайними степенями развития некоторого качества души. Так, например, такие противоположности – трусость и безрассудная отвага, а между ними – добродетель «мужество». Графически это можно изобразить так:

Рис. 11

На этом основании можно сказать, что трусость – это недостаток, а безрассудная отвага – избыток того качества души, которое, будучи присуще душе в меру, представляет собой мужество.

Точно также можно охарактеризовать то качество души, которое определяет бережливое отнмшение к своему имуществу. Избыток этого качества – скупость, недостаток – расточительность, среднее между ними – щедрость.

Нетрудно заметить, что отец логики – Аристотель – применил здесь учение о противоположных понятиях для того, чтобы выработать свое учение о добродетели.

Мы получили следующую классификацию пар понятий, находящихся в отношении несовместимости:

1 Правда, древние философы из школы стоиков считали, что все люди делятся на мудрецов и глупцов. Какие отношения между понятиями «мудрец» и «глупец» получаются в таком случае?

71

Рис. 12

Если эту классификацию соединить с классификацией совместимых понятий, то мы получим классификацию всех отношений между сравнимыми понятиями, а следовательно, и классификацию всех отношений между понятиями.

Теория отношений между понятиями создает в нашей голове мощную структуру, позволяющую систематизировать отношения между любыми понятиями, и на основе ясного и отчетливого знания этих отношений строить свои дальнейшие рассуждения об этих понятиях. Если вам удастся овладеть этой структурой, то у вас не останется какихлибо трудностей в решении задач на отношения между понятиями, как учебных, типа той, что мы решали с нашими героями в начале этого параграфа, так и реальных задач, возникающих при обучении и исследовании.

72