Ст: Итак, мы будем доказывать суждение "Некоторые интеллигенты не являются бездельниками". Вот мы, например, уже сколько времени непрерывно заняты делом, ибо разве может быть лучшее дело для интеллигента, чем совершенствовать свое мышление.

Ав: Мыслить самостоятельно и правильно – важнейшее дело. Иммануил Кант говорил, что это – свойство просвещенного мышления. Что ж, будем мыслить просвещенно.

Итак, в результате рассмотрения отношений между категорическими суждениями получилась следующая классификация:

Отношения между категорическими суждениями

§ 2. Отношения между сложными суждениями

Сложные суждения вступают в отношения, подобные отношениям между категорическими суждениями, которые мы систематизировали при помощи логического квадрата. Однако имеются и некоторые отличия.

Начнем мы также с отношений сравнимости и несравнимости.

Для начала введем некоторые дополнительные понятия. Отношения между сложными суждениями, допустим А и В, мы будем выяснять при помощи построенной для них совместной таблицы истинности.

Совместная таблица для суждений А и В строится следующим образом:

Вход таблицы строим как для суждения A B , т.е. на входе выписываем объединение множества простых суждений из А и В, а затем вычисляем истинностные значения суждений А и В отдельно.

П р и м е р . Рассмотрим суждения A p q и B p r .

Объединением множества простых суждений из А и В будет {p, q, r}. Следовательно, строим вход таблицы с тремя простыми суждениями, а далее вычисляем истинностные значения А и В по отдельности1.

1 Жирным шрифтом выделены результирсющие столбцы, в которых указанны истинностные значения рассматриваемых суждений.

146

Суждения А и В о д н о в р е м е н н о и с т и н н ы ( л о ж н ы ) , если они принимают значения И (Л) в одной и той же строке, построенной для них совместно таблицы.

С о в м е с т и м о с т ь

Мы рассмотрим три вида отношения совместимости:

а) эквивалентность; б) дополнительность; в) логическое следование.

а) Эквивалентность

Рассмотрим следующий диалог:

Вадим: Ты завтра пойдешь на лекцию по логике и со мной на концерт? Ольга: Нет!

Что сказала Ольга? К чему ее обязывает этот ответ? Ее несогласие с требованием, содержащимся в вопросе, означает, что она считает истинным суждение "Неверно, что я завтра пойду на лекцию по логике и с Вадимом на концерт". Но что означает это суждение? К чему оно ее обязывает? Следует ли для того, чтобы сдержать свое обещание, не ходить ни туда, ни туда, или надо вести себя как-нибудь по-другому?

Проверим нашу гипотезу. Одно ли и то же сказать: "Неверно, что я завтра пойду на лекцию по логике и с тобой на концерт" и сказать: "Я завтра не пойду на лекцию по логике и не пойду с тобой на концерт".

Первое суждение мы запишем в виде p q , второе суждение в виде p q . Построим для них таблицу истинности.

Мы видим, что эти суждения имеют различные таблицы истинности, а значит, означают не одно и то же.

Рассмотрим другую гипотезу. Предположим, что суждение "Неверно, что я пойду на лекцию по логике и завтра с тобой на концерт" означает то же самое, что и "Я завтра не пойду на лекцию по логике или не пойду с тобой на концерт", т.е. p q .

148

Получается, что суждения p q и p q принимают одни и те же значения во всех строках таблицы, а следовательно, означают одно и то же.

Отношение между суждениями, уточняющее идею "означать одно и то же", мы будем называть эквивалентностью.

Суждения А и В называются э к в и в а л е н т н ы м и , если они принимают одно и то же значение во всех строках построенной дйя них совместно таблицы.

Мы будем следующим образом обозначать эквивалентность суждений А и В:

А ~ В.

Так, если обобщить разобранный нами ранее случай при помощи метапеременных, то мы получим следующую эквивалентность:

A B ~ A B

Рассмотрим еще один диалог:

Отец: Если ты будешь с ним встречаться, то я лишу тебя наследства. Дочь: Нет, ни за что!"

Что хочет сказать дочь своим отказом?

Суждение, которое высказывает отец, можно записать в следующей форме: p q, где p - "Ты будешь с ним встречаться", q - "Я лишу тебя наследства".

149

Какое более понятное суждение эквивалентно данному?

Дочь на самом деле утверждает следующее: "Я буду с ним встречаться, и ты не лишишь меня наследства".

Как мы видим, отношение эквивалентности дает нам в руки мощный аппарат выявления смысла выражений естественного языка, у которых точно выяснена логическая форма.

В чем же важность отношения эквивалентности? В том, что оно позволяет нам выделить суждения, которые имеют различные смыслы, но одинаковые значения, т.е. являются различными формами выражения одного и того же содержания.

Пояснение. Все логически истинные (и, соответственно, логические ложные) суждения эквивалентны друг другу.

б) Дополнительность

Представьте себе, что Ваш приятель рассказывает такую историю: "Слушай, что со мной было! Я вчера пообещал своему преподавателю, что пойду к нему на лекцию по логике. А своей подруге пообещал, что если я с утра пойду на лекцию по логике, то вечером пойду с ней в кино. И представляешь, я оба обещания не сдержал". Что бы Вы сказали о Вашем приятеле? Мне трудно представить, что Вы думаете, поэтому давайте проанализируем его слова. Обозначим суждения "Я пойду на лекцию по логике" через p, а суждение "Я пойду с тобой в кино" – через q. Тогда он утверждает, что и суждение p и суждение p→q одновременно ложны. Проверим это его утверждение и построим таблицу:

150

Что мы узнали о Вашем приятеле? Что он отчаянный лжец. Он обманул не ролько профессора и подругу, но и Вас. Два суждения, высказанные им, не могут быть одновременно ложны, и следовательно, два его обещания нельзя не сдержать одновременно.

Такое отношение между суждениями называется дополнительность.

Суждения А и В назовем д о п о л н и т е л ь н ы м и , если в построенной для них совместно таблице не встречается комбинация значений (Л Л), но встречаются все остальные возможные комбинации их значений.

Главная черта дополнительных суждений – это то, что они не могут быть

Эти суждения находятся в отношении дополнительности, так как они могут быть вместе истинными, но не могут быть вместе ложными.

в) Отношение логического следования

Предположим, что ваш приятель дал вам обещание: "Завтра я не пойду на лекцию по логике, но пойду с тобой в кино".

Логическая форма этого суждения p q .

151

К каким еще обещаниям вынуждает его это обещание1? Что вынуждает его сделать данное обещание? Или точнее, что он может еще пообещать, чтобы не могло получиться так, что первое обещание он сдержал, а второе не сдержал?

Очевидно, что p .

Очевидно, что q .

А какие еще более сложные?

Например, обязывает ли его данное обещание к следующему обещанию: (а) "Если я не пойду на лекцию по логике, то пойду с тобой в кино". Или (б) "Если я не пойду на лекцию по логике, то не пойду с тобой в кинм".

Очевидно, что он может смело давать обещание (а), поскольку в случае истинности p q , p q также истинно. Но нельзя без риска давать обещание (б), так как может сложиться такая ситуация, когда его первое общение выполнено, а обещание (б) – нет, поскольку в третьей строке таблицы p q истинно, а суждение p q ложно.

Такого рода отношение между суждениями называются отношением логического следования.

Суждения А и В находятся в отношении л о г и ч е с к о г о с л е д о в а н и я , если не может быть так, чтобы первое суждение было истинно, а второе — ложно.

Иначе говоря, суждения А и В находятся в отношении логического следования, если из истинности А обязательно вытекает истинность В. Отношение логического следования самое вадное отношение в логике. Один неизвестный автор конца ХХ века придумал такой девиз для логиков: "Логикам следует как следует следование исследовать!" Для этого отношения в логике ввели специальный знак.

1 Мы хотим как бы выжать все возможное из данного обещания

152

Отношение логического следования между суждениями А и В будем обозначать

А╞В.

Отношение логического следования столь важно для логики, потому что, как мы увидим в дальнейшем, посылки и заключение правильных дедуктивных умозаключений находятся в отношении логического следования.

Пример

Мы видим, что случай, когда первое суждение истинно, а второе ложно, отсутствует в таблице, а значит, всякий раз, когда первое суждение истинно, истинно и второе суждение. Эти суждения находятся в отношении логического следования, т.е. ((p q) q) p . Позже мы увидим, что приведенное логическое следование соответствует одному из важнейших типов умозаключений – условно-категорическому.

Н е с о в м е с т и м о с т ь

Отношение несовместимости сводится к двум типам: а) противоречию и б)

противоположности.

а) Противоречие

Рассмотрим ситуацию спора. Ваш оппонент придерживается мнения о том, что

"Наполеон — великий человек, и прекрасно все то, что он совершил". Вам необходимо опровергнуть Вашего оппонента. Какое же суждение вам следует доказать, чтобы Ваш оппонент был опровергнут по всем пунктам? Пойдет ли такое: "Наполеон — не великий человек, и не является прекрасным все то, что он совершил". Возможно, что этого достаточно для опровержения Вашего оппонента. Но так ли легко это доказать, особенно ту часть, что Наполеон — не великий человек? Чтобы ответить на этот вопрос, нам надо рассмотреть отношение противоречия, ибо точное отрицание некоторого суждения как раз и дает нам отношение противоречия.

Суждения А и В находятся в отношении п р о т и в о р е ч и я , если они не могут быть ни вместе истинными, ни вместе ложными.

153

Нам осталось выяснить, какое же суждение будет находиться к суждению Аашего оппонента в отношении противоречия. Проверим то суждение, которое было предложено выше. Обозначим "Наполеон — великий человек" через p, а "Прекрасно все то, что он совершил" через q. Тогда первое суждение запишем как p q , второе – как p q .

Построим таблицу.

Как мы видим, эти суждения не могут быть вместе истинными, но могут быть вместе ложными. Отсюда и возникает впечатление того, что такое суждение требует от

противоречия. Поэтому в нашем споре следует придерживаться следующей стратегии – выдвинуть в противовес нашему сопернику суждение "Наполеон — не великий человек, или не прекрасно все то, что он совершил". Это суждение доказать уже намного легче, поскольку для этого достаточно доказать, что не все, что сделал Наполеон, прекрасно.

Таким образом, мы с вами убедились в следующем положении:

Выбирая оптимальную стратегию спора, следует руководствоваться отношением противоречия.

Отношение противоречия – важнейшее отношение в логике, сравнимое по своему значению только с отношением логического следования. Рассматривая таблицу, характеризующую отношение противоречивых суждений, мы можем установить такую

154

закономерность: если суждение А находится в отношении противоречия к суждению B, то B представляет собой отрицание А, т.е. B ~ A , а A ~ B .

Пояснение. Каждое логически истинное суждение находится в отношении противоречия к каждому логически ложному.

б) Противоположность

Иногда возникает задача обнаружения суждения не только исключающего истинность данного суждения, но и утверждающего нечто сверх этого. В таком случае можно прибегнуть к отношению противоположности.

Суждения А и В находятся в отношении противоположности, если в построенной для них совместно таблице не встречается комбинации значений (И И), но встречаются все остальные возможные комбинации.

П р и м е р . Когда мы искали суждение, находящееся в отношении противоречия к p q , то рассматривали случай p q . Это был случай отношения противоположности. Взгляд на таблицу покажет Вам, что эти суждения могут быть вместе ложными, но не могут быть вместе истинными.

В результате мы имеем следующую кйассификацию отношений между сложными суждениями.

Отношения между категорическими суждениями

Рис. 3

Общее замечание. Навык обращения с различными отношениями между суждениями позволяет нам в общении, например, в споре легко находить суждения, следующие из данных, суждения, противоречащие им, и т.д. А это необходимо для развития аргументов в пользу своего тезиса и критики чужих тезисов и аргументов.

155