Тема № 6 Электричество и магнетизм

6.1 Электростатика

Опыт показывает, что между электрически заряженными и намагниченными телами действуют силы, называемые электромагнитными. Относительно природы этих сил в науке выдвигались две противоположные точки зрения. Ранее известная из них исходила из представления о непосредственном действии на расстоянии, без участия каких бы то ни было материальных посредников. Более новая точка зрения, принятая в настоящее время, исходит из представления, что взаимодействия передаются с помощью особого материального посредника, называемого электромагнитным полем. Большой вклад в развитие современной теории поля внесли Фарадей, Максвелла многие другие

Термин электрический заряд используется в физике, во-первых, для названия небольшого заряженного тела. Если размерами тела в данной задаче можно пренебречь, заряд называется точечным, заряд, не искажающий электрическое поле, в которое его вносят, называется пробным. Во-вторых, так называется физическая величина, количественно характеризующая электрические свойства тел. Возьмём два пробных заряда и будем последовательно помещать их в одну и ту же точку электрического поля. Опыт показывает , что силы, действующие на эти заряды напрвлены в одну или прямо противоположные стороны, а отношение их модулей не зависит от положения точки, в которую помещаются эти заряды. По определению, отношение зарядов двух тел равно отношению действующих на них сил

q₁/q₂ = F₁/F₂. (6.1)

При этом тела имеют одинаковые знаки , если действующие на них силы направлены в разные стороны. Основные свойства электрических зарядов: 1) заряды бывают только двух видов, - положительные и отрицательные; 2) заряд – дискретная величина, т.е. любой заряд кратен так называемому элементарному электрическому заряду е = 1,60 10^-19 Кл; 3)закон сохранения заряда – полный заряд системы не может измениться, если через её границу не проходят электрически заряженные частицы.

Из формулы (6.1) следует, что

F₁/q₁ = F₂/q₂.

Напряжённость электрического поля Е в данной точке равна отношению силы F , действующей на пробный положительный заряд, помещенный в данную точку, к величине пробного заряда.

Е = F/q (6.2)

Принцип суперпозиции состоит в том, что напряженность поля, создаваемого системой зарядов, равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых отдельными зарядами.

Основной количественный закон электростатики был открыт Кулоном в 1785 г. Сила взаимодействия двух точечных неподвижных зарядов в вакууме направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды, пропорциональна их величинам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Она является силой притяжения, если знаки зарядов разные, и силой отталкивания, если эти знаки одинаковы.

F₁₂ = С│q₁││q₂│/r₁₂² (6.3)

Коэффициент С в системе единиц СИ равен 9.0 10⁹ Н м²/Кл². В системе СИ коэффициент С принято записывать в виде С = 1/ (4πε₀), где ε₀ = 8,85 10^-12 Ф/м называется электрической постоянной. Напряженность поля точечного заряда q определяется формулой

Е = q/(4πr² ε₀). (6.4)

Так как площадь поверхности сферы S= 4πr², то формулу (6.4) можно записать в виде

Е S = q/ε₀.

Это соотношение было обобщено Гауссом для произвольной системы электрических зарядов , окружённых замкнутой поверхностью, - поток вектора напряжённости электрического поля через любую замкнутую поверхность пропорционален сумме зарядов, окруженных этой поверхностью.

∮(Е dS) = q/ε₀ (6.5)

Следствием теоремы Гаусса является теорема Ирншоу: всякая равновесная конфигурация покоящихся точечных зарядов неустойчива, если на них, кроме кулоновских сил притяжения и отталкивания, никакие другие силы не действуют. Применим теорему Гаусса для определения напряжённости поля бесконечной равномерно заряженной плоскости. Пусть заряд плоскости положительный с поверхностной плотностью σ, тогда ввиду симметрии задачи вектор Е направлен от плоскости. Построим цилиндр с основаниями площадью S каждое, симметрично расположенными по разные стороны плоскости, и с образующими, перпендикулярными к ней. Тогда поток вектора Е через оба основания равен 2ЕS, а поток вектора Е через боковую поверхность равен нулю. По теореме Гаусса 2ЕS = σS/ε₀, отсюда

Е = σ/ (2ε₀) (6..6)

Простейшей системой электрических зарядов является электрический диполь, - совокупность двух равных по величине, но противоположных по знаку точечных зарядов, расположенных на расстоянии l друг от друга. Если l – радиус-вектор, проведённый от отрицательного заряда к положительному, то вектор р = ql называется электрическим моментом диполя.

Электрическое поле потенциально (консервативно), для таких полей можно ввести понятие разности потенциалов. Разностью потенциалов между двумя точками 1 и 2 электрического поля называется отношение работы сил поля по перемещению пробного положительного заряда q из положения 1 в положение 2 к величине пробного заряда

φ₁ − φ₂ = А₁₂/q (6.7)

Найдём связь разности потенциалов с напряженностью поля.В одномерном случае − dφ=Е_хdх или Е_х = − dφ/dх, аналогичное рассуждение применимо для осей у и z. Тогда в общем виде

Е = − (∂φ/∂х i + ∂φ/∂у j + ∂φ/∂z k)

Так как Е есть вектор, то и выражение, стоящее в скобках, есть также вектор Он называется градиент скаляра φ и обозначается grad φ.. Теперь связь напряжённости и потенциала можно записать так

Е = − grad φ (6.8)

Из связи напряженности и потенциала следует, что единицей напряженности является вольт на метр ( В/м)

Земля заряжена отрицательно её электрический заряд испытывает периодические изменения и в среднем составляет 6 10⁵ Кл. Воздух обладает проводимостью, поэтому в атмосфере текут токи, уменьшающие заряд Земли. В настоящее время можно считать установленным, что заряд Земли поддерживается грозовой активностью атмосферы

Влияние электрического поля на вещество обусловлено тем, что атомы вещества состоят из электронов и положительно заряженных ядер. При внесении тела в поле легкие электроны испытывают смещение против поля, смещение атомных ядер по сравнению с ними пренебрежимо мало, т.е. происходит частичное разделение зарядов и в отдельных местах тела появляются макроскопические индукционные заряды. Все вещества можно условно разделить на проводники и диэлектрики. Смещение электрических зарядов в проводниках и диэлектриках носит совершенно различный характер. В проводниках носители тока могут легко перемещаться по всему объёму, а в диэлектриках свободных зарядов нет и смещение зарядов ограничено атомными размерами. Электрическое поле в проводниках было подробно исследовано Фарадеем. Им было экспериментально доказано, что напряжённость электрического поля внутри проводника равна нулю. В диэлектриках под действием приложенного электрического поля возникают поляризационные заряды, уменьшающие электрическое поле внутри диэлектрика. Для количественного описания поляризации диэлектрика пользуются вектором поляризации Р, равным дипольному моменту единицы объема диэлектрика. Можно показать, что сумма поляризационных зарядов связана с вектором поляризации соотношением

q_пол = − ∮(Р dS) (6.9)

Поляризационные заряды необходимо добавить в теорему Гаусса

ε₀ ∮(Е dS) = q − ∮(Р dS) (6.10)

Введём новый вектор D = ε₀E + P, (6.11)

называемый вектором электрической индукции. Тогда

∮( D dS) = q/ (6/12)

Эта формула называется теоремой Гаусса для электрического поля в диэлектрике. Если среда изотропна, то векторы Р и Е коллениарны и можно записать Р = αε₀ Е, где α- поляризуемость диэлектрика. Связь между векторами D и E записывается в виде

D = ε ε₀Е , (6.13)

где ε = 1 + α называется диэлектрической проницаемость диэлектрика.

Рассмотрим конденсатор, состоящий из двух проводников (обкладок), отделённых друг от друга слоем диэлектрика, заряды на обкладках равны по величине и противоположны по знаку. Плоский воздушный конденсатор состоит из двух плоских пластин площадью S каждая, расположенных на небольшом расстоянии d друг от друга. Напряжённость электрического поля , создаваемого одной пластиной, определяется формулой (6.6) Е₁ = q/(2Sε₀). За пределами конденсатора Е равно нулю, а в промежутке между обкладками Е = 2Е₁

Е = q/(Sε₀)

Отношение заряда конденсатора к разности потенциалов между его обкладками называется ёмкостью конденсатора С. Так как Е = Δφ/d, то

С = ε₀S/d. (6.14)

Если между обкладками расположен диэлектрик с диэлектрической проницаемость ε, то ёмкость конденсатора увеличивается в ε раз

С = εε₀S/d. (6.15)

Энергия электрического поля в конденсаторе W численно равна работе, совершённой при его зарядке

dW = Δφ dq = q dq/С,

и после интегрирования получаем

W = q²/2С . (6.16)

Преобразуем это выражение – так как q = С Δφ = С Еd, то

W = εε₀Е² Sd /2 . (6.17)

Произведение Sd равно объёму пространства между обкладками, поэтому объёмная плотность энергии электрического поля равна

w = εε₀ Е²/2 = (ЕD)/2 (6.18)

В некоторых кристаллах при деформации возникает поляризация, в результате на их поверхностях появляются электрические заряды Это явление получило название прямого пьезоэлектрического эффекта. Существует и обратный пьезоэффект, - деформация кристалла под действием электрического поля. Эти эффекты имеют широкое техническое применение.