Физические основы микро- и наноэлектроники

дит носитель заряда между двумя последовательными актами рассеяния. Если бы носитель уже в единичном акте рассеяния полностью терял скорость в направлении первоначального движения, то средняя длина свободного пробега l равнялась бы произведению средней скорости движения v на время релаксации τ, которое в данном случае представляло бы собой

среднее время движения носителя заряда между актами рассеяния:

В этом случае выражение (3.21) с учетом (3.22) принимает вид

(3.23)

Рассеяние носителей заряда на фононах

При высоких температурах в полупроводниках основное влияние на подвижность носителей заряда оказывает рассеяние на тепловых колебаниях кристаллической решетки — фононах. Концентрация квазичастиц — фононов — пропорционально увеличивается с ростом температуры:

Если носитель заряда прекращает движение в данном направлении уже при единичном столкновении с фононом, то средняя длина свободного пробега

щей физики, равна 32 k0T. Приравнивая эту энергию к кинетической энер-

гии частицы mv2/2, получаем, что средняя скорость хаотического (тепло-

вого) движения равняется

71

Рассеяние на ионах примесей

Рассеяние на ионизированных атомах примесей в полупроводниках заметно проявляется в области низких температур, когда концентрация фононов еще незначительна. Рассматриваемый процесс представляет собой искривление траектории движения носителей заряда под влиянием кулоновской силы, действующей на электрон или дырку со стороны рассеивающего центра. Если таким центром является положительный донорный ион, то рассеивающая сила, описываемая формулой (1.14), вызывает отклонение электрона и дырки от исходного направления движения в электрическом поле ионизированного донора (рис. 3.6). Предположим, что электрон начинает свое движение из бесконечности со скоростью v по прямолинейной траектории, проходящей на расстоянии b от кулоновского центра рассеяния. Расстояние b называется прицельным. На рисун-

ке также показана траектория дырки, начавшей движение с той же скоростью и на том же прицельном расстоянии. Носители заряда в общем случае пролетают на различных расстояниях от заряженных центров и отклоняются на разные углы. Поэтому рассеяние по рассматриваемому механизму столь же хаотично, как и рассеяние на тепловых колебаниях атомов решетки.

Рис. 3.6. Траектория движения электрона и дырки в электрическом поле ионизированного донорного атома

Рассеяние на ионах примеси возникает в результате взаимодействия зарядов. Отклонение носителей заряда увеличивается с уменьшением скорости движения и прицельного расстояния. Математически отклонение рассчитывают путем определения траектории движения заряженной частицы в центральном поле иона, подобно задаче о рассеянии α-частиц на

ионах, которая решена Э. Резерфордом. Формула для длины свободного пробега при рассеянии электронов на ионах примеси имеет следующий вид:

72

Все величины в выражении (3.27) использовались ранее. Из выражения (3.27) следует, что длина свободного пробега увеличивается и, следовательно, вероятность рассеяния уменьшается, если скорость движения, эффективная масса носителей заряда и диэлектрическая проницаемость кристалла возрастают. Физический смысл выражения (3.27) становится

âобласти температур около 30–70 Ê, ò.å.

âусловиях, когда тепловые колебания атомов в кристаллической решет- μË = α′Têå3 2,не ограничивают длину свободного пробега носителей заряда, но теп-

ловая энергия достаточна для ионизации примесных атомов.

Смешанное рассеяние

В реальных кристаллах обычно наиболее эффективны два вида рассеяния: рассеяние на тепловых колебаниях и рассеяние на примесных ионах. Соответственно температурную зависимость подвижности в области низких температур часто можно объяснить рассеянием носителей заряда на ионах примеси, когда выражение для температурной зависимости имеет вид, подобный (3.28):

(3.29)

ãäå α′ — коэффициент пропорциональности.

В области высоких температур зависимость μ(T) определяется рассея-

нием носителей заряда на фононах, и ее можно описать выражением

ãäå β′ – коэффициент пропорциональности.

73

74

ности. Как показано на рис. 3.8, рост величины N сопровождается снижением зависимости m(T).

Реально в германии подвижность электронов в зоне проводимости при рассеянии на колебаниях решетки выражается формулой

для дырок в валентной зоне справедливо выражение

Из соотношений (3.34) и (3.35) следует, что при 300 К подвижности носителей заряда будут:

mn = 0,38 ì2/(Â × ñ), mp = 0,18 ì2/(Â × ñ).

Различие подвижностей электронов и дырок согласно формуле (3.23) можно объяснить их разной эффективной массой.

§ 3.4. Зависимость электропроводности полупроводников от температуры

§ 3.2 показано, что электропроводность (проводимость) полупроводника можно выразить формулой (3.15). Для рассмотрения ее температурной зависимости удобнее ограничиться собственным и донорным полупроводниками.

Âполупроводнике любого типа проводимости зависимость s0(T) определяется температурными зависимостями подвижности m(T) и концентраций носителей заряда ni(T), n(T) è p(T). Ранее было показано, что

âшироком диапазоне температур подвижность определяется смешанным рассеянием носителей заряда на ионах примесей и на тепловых колебаниях решетки (фононах) и возрастает или уменьшается по степенному зако-

íó m T±32.

Температурная зависимость концентрации носителей заряда в основном обусловлена интенсивностью перехода электронов из валентной зоны

èс примесных уровней в зону проводимости. Как показано на рис. 2.5

è2.7,á, зависимость n(T) определяется шириной запрещенной зоны и глу-

биной залегания в ней примесного уровня, т.е. энергией активации, вследствие чего зависимости концентраций носителей заряда от температуры (2.29) и (2.30) являются экспоненциальными. Поэтому зависимости Nc(T) è Nv(T) — степенные функции — не проявляются в зависимостях

ni(T) (ðèñ. 2.5) è n(T) (ðèñ. 2.7,á).

75

76

проводимости будет соответствовать виду температурной зависимости концентрации электронов (см. рис. 2.7,á). Однако необходимо заметить, что в области 2 (рис. 2.7,á), ãäå nn0(T) = const, на зависимости ln σn(1/T), ïðåä-

ставленной на рис. 3.10 (область 2), будет проявляться температурная зависимость подвижности при смешанном рассеянии (рис. 3.8). Объяс-

Начиная с температуры Ts è äî Ti ïðî-

является область 2, в которой все донорные атомы ионизированы, и электроны с донорных уровней в зону проводимости больше

не поступают. Проводимость полупроводника в области 2 обусловлена уча- стием в электрическом токе всех электронов с донорных атомов. Подвижность этих электронов и, следовательно, проводимость определяются рассеянием на донорных ионах (вблизи Ts), а затем на фононах (вблизи Ti).

Этим объясняется, что в области 2, которая называется областью истощения, примесная зависимость ln σ(1/T) проходит через максимум.

Âобласти 3, начиная с температуры Ti , концентрация собственных

электронов в зоне проводимости, поступивших из валентной зоны, становится преобладающей по сравнению с примесными электронами, и об-

ласть 3 поэтому называется областью собственной проводимости. Угол

наклона αi позволяет в соответствии с выражениями (2.39) и (3.41) определить ширину запрещенной зоны данного полупроводника n-òèïà.

Из вышеизложенного следует, что для области 3 в проводимости как донорного, так и акцепторного полупроводников участвуют электроннодырочные пары.

§3.5. Электропроводность металлов и сплавов

Âметаллах в электрическом токе участвуют только свободные электроны, и представления о дырке для этого класса твердых тел не требуется. В связи с этим электропроводность металлов и полупроводников сильно выраженного n-типа описывается одной формулой (3.14). Так как

электронный газ в металлах вырожден, то концентрация электронов

77

78

1)в отсутствие внешнего электрического поля носители заряда совершают хаотическое тепловое движение вследствие их столкновений друг

ñдругом, с атомами и с дефектами в кристалле;

2)во внешнем электрическом поле хаотическое движение электронов превращается в их прямолинейное ускоренное перемещение против век-

5)

ãäå σ — удельная электрическая проводимость (электропроводность); j — плотность электрического тока; μn è μp — подвижности электронов

èдырок; n0, p0 — равновесные концентрации электронов и дырок.

3.(ПШМЮ). Укажите правильные выражения для подвижности свободных носителей заряда:

ìóëå

l = v τ .

Ответы:

1) l — длина кристалла;

79

80