Физические основы микро- и наноэлектроники

или, учитывая (2.24),

Концентрацию электронов в зоне проводимости полупроводника можно получить из равенства (2.23) после подстановки в него выражений (2.20) и (2.24):

При расчете концентрации электронов необходимо охватить весь интервал энергетических уровней, начиная от дна зоны проводимости Ec è äî ∞, так как степень заполнения этих уровней, например, с ростом

температуры изменяется только у дна этой зоны.

Подставляя в (2.23) формулы (2.22) для плотности квантовых состояний в валентной зоне и (2.25) для вероятности их заполнения дырками, получаем выражение для равновесной концентрации дырок в валентной зоне:

Нижний предел интегрирования в выражении (2.28) выбран произвольно, так как он не должен влиять на величину p0, поскольку дырки располагаются только на уровнях вблизи потолка валентной зоны.

Вычисление интегралов (2.27) и (2.28) приводит к следующему результату для концентраций электронов и дырок в невырожденных полупроводниках:

51

52

Используя равенство (1.57), можно определить концентрацию носителей заряда в собственном полупроводнике:

(2.35)

Таким образом, из (2.35) следует, что концентрация носителей заряда в собственном полупроводнике экспоненциально возрастает при увеличе- нии температуры и уменьшении ширины запрещенной зоны:

åì

ãäå Ò1 è Ò2 — два произвольно выбранных значения температуры; ni1 è ni2 — концентрации собственных носителей заряда в полупроводнике при соответствующих температурах Ò1 è Ò2 (ñì. ðèñ. 2.5).

53

54

ной зависимостью Nc и множителем k0T. С увеличением T в области низких температур, когда 2Nc < Nd , уровень Ферми сначала приближается к Ec , а затем начинает опускаться в запрещенную зону (рис. 2.7,à). Ïðè 2Nc = Nd положение уровня Ферми снова будет EF = (Ec + Ed)/2, è ïðè

достижении температуры Ts уровень Ферми пересекает донорный уровень. Температура Ts называется температурой истощения примеси. Дальнейшее повышение температуры сопровождается ростом Nc (см. формулу (2.31)), и уровень Ферми продолжает снижаться до температуры Ti , на- чиная с которой донорный полупроводник проявляет свойства собственного полупроводника, так как при T = Ti уровень Ферми должен прибли-

зиться к середине запрещенной зоны Ei или пересечь ее.

Эта область смещения уровня Ферми при повышении температуры описывается выражением (2.43) и называется областью слабой ионизации

55

примеси (область 1 на рис. 2.7,à). Экспоненциальный рост концентрации электронов в полупроводнике n-типа показан в полулогарифмических координатах ln nn0 = f(1/T) в виде прямой линии на рис. 2.7,á (область 1).

Значения температуры истощения

обычно невелики. Например, для донорной примеси в германии, когда Ec = Ed ≈ 0,01 ýÂ è Nd = 1016 ñì–3, Ts = 32 Ê.

При повышении температуры от 0 К до Ts концентрация электронов

âзоне проводимости возрастает и сравнивается с концентрацией атомов

донорной примеси (n0 = Nd). Это означает, что практически все донорные

атомы ионизированы и при отсутствии других источников носителей заряда концентрация электронов в зоне проводимости не будет зависеть от температуры (область 2 на рис. 2.7,á). Эта область температур, при

которой имеет место полная ионизация примесных атомов, называется

областью истощения примеси (область 2, рис. 2.7,á). Из условия n0 = Nd с учетом (2.29) получаем EF = Ec + k0T lnNd / Nc. При увеличении темпе-

ратуры, начиная с Ti , рост концентрации электронов в зоне проводимости будет связан с переходом электронов из валентной зоны. В этом случае положение уровня Ферми определяется уравнением (2.34), и его температурная зависимость становится аналогичной случаю собственного полупроводника (см. рис. 2.4). На рис. 2.7,à показан ход зависимости EF (T)

âобласти температур выше Ti в предположении, что эффективная масса у электронов меньше, чем у дырок.

Рост концентрации электронов, начиная с температуры Ti, показан на рис. 2.7,á (область 3). При температуре

свойства донорного полупроводника перестают отличаться от аналогич- ных свойств собственного полупроводника.

Âобласти 3 на рис. 2.7,á ïðè T > Ti зависимость ln nn0(1/T) не отли- чается от такой же зависимости для собственного полупроводника (см. рис. 2.5), и по ее наклону относительно оси 1/Ò можно определить ширину запрещенной зоны (см. § 2.4, формула (2.39)).

Âакцепторном полупроводнике при T = 0 К уровень Ферми располо-

жен в середине интервала Ea − Ev (ðèñ. 2.8). Ïðè T = Ts EF = Ea,

что соответствует полной ионизации акцепторных атомов. Концентрация дырок при T < Ts определяется по формуле

56

ãäå Na — концентрация акцепторной примеси,

(2.50)

Зависимость ln pp0(1/T) подобна показанной на рис. 2.7,á.

носителей заряда (при T > 0 К) поставляют примесные атомы — доноры в полупроводнике n-типа и акцепторы в полупроводнике p-типа. Донорные атомы в полупроводнике n-типа поставляют дополнительные электроны в зону проводимости, вследствие чего выполняется неравенство (1.60). Акцепторные атомы в дырочном полупроводнике поставляют в валентную зону дополнительные дырки, вследствие чего концентрация дырок значительно превышает концентрацию собственных дырок (1.61).

В соответствии с вышеизложенным полупроводник называется электронным, если выполняется неравенство (1.60), и дырочным, если справедливо неравенство (1.61). Тогда электроны в электронном полупроводнике, а дырки в дырочном являются основными носителями заряда.

57

Однако в названных полупроводниках при T > 0 К всегда есть неосновные носители заряда — дырки в электронном полупроводнике и электроны в дырочном полупроводнике.

Энергия ионизации примесных атомов, т.е. глубина залегания донорного или акцепторного уровня, всегда меньше ширины запрещенной зоны полупроводника. Поэтому в примесных полупроводниках концентрация основных носителей заряда всегда больше концентрации неосновных носителей:

ãäå pn0 — равновесная концентрация дырок в полупроводнике n-òèïà; np0 — равновесная концентрация электронов в полупроводнике p-òèïà.

При любой температуре в любом полупроводнике устанавливается равновесное состояние, при котором концентрации электронов и дырок выражаются соответственно формулами (2.29) и (2.30). При этом должно выполняться соотношение (2.35), которое можно представить в виде

(2.53)

Это равенство носит название закона действующих масс и показывает, что в невырожденном полупроводнике произведение равновесных концентраций электронов и дырок равно квадрату концентрации собственных носителей заряда. Соотношение (2.53) справедливо только для носителей заряда, которые созданы за счет теплового воздействия на невы-

рожденный полупроводник и находятся с ним в тепловом равновесии. n0 p0 = ni2.

Для электронного полупроводника закон действующих масс (выражение (2.53)) будет иметь вид

т.е. произведение равновесных концентраций основных и неосновных носителей заряда в данном невырожденном полупроводнике равно квадрату концентрации собственных носителей заряда (при соответствующей температуре).

Закон действующих масс позволяет по известной концентрации основных носителей рассчитать концентрацию неосновных и наоборот.

58

§ 2.7. Влияние уровня легирования на температурную зависимость концентрации

основных носителей заряда

Температурная зависимость концентрации электронов в донорном полупроводнике с низким уровнем легирования (невысокая концентрация примесей Nd1) показана на рис. 2.9,à. В этом случае зависимость ln n(1/T) не отличается от рассмотренной ранее (см. рис. 2.7,á). Увеличе- ние концентрации доноров (Nd2 > Nd1) вызывает смещение зависимости ln n (1/T), рост температуры истощения примеси ( Ts2 > Ts1) и температуры перехода к собственной проводимости ( Ti2 > Ti1), а также уменьшение угла наклона (αn2 < αn1). Аналогичное изменение зависимости ln p(1/T)

наблюдается и для акцепторных полупроводников.

Рис. 2.9. Температурные зависимости концентрации электронов

âполупроводнике (à) и соответствующие зонные диаграммы полупроводника (á, â, ã) при различных концентрациях

донорной примеси

Уменьшение угла наклона αn2 с ростом концентрации донорных ато-

мов (повышение степени легирования) до N2 говорит об уменьшении энергии ионизации доноров, на что указывает формула (2.45). Это связано с тем, что увеличение количества донорных атомов в единичном объеме полупроводника приводит к уменьшению расстояния между ними и, следовательно, к повышению их взаимодействия. При достаточно большой концентрации доноров Nd2 это взаимодействие становится настолько сильным, что донорный уровень Ed (ðèñ. 2.9,á) расщепляется в примесную зону (рис. 2.9,â), ширина которой возрастает с увеличением взаимодействия

59

донорных атомов, т.е. с ростом их концентрации. Расщепление донорного уровня в примесную зону объясняется перекрытием волновых функций валентных электронов взаимодействующих донорных атомов.

Увеличение концентрации доноров, например, в германии до Nd3 ≈ 3 1018 ñì–3 приводит к настолько большому расщеплению донорно-

го уровня, что примесная зона перекрывается с зоной проводимости, образуя единую зону разрешенных энергий (рис. 2.9,ã). Вследствие этого энергия ионизации примесных атомов обращается в нуль, а концентрация электронов в зоне проводимости перестает зависеть от температуры (рис. 2.9,à, зависимость ln n(1/T) ïðè Nd3). Уровень Ферми у таких полупроводников находится в зоне проводимости, и состояния ниже EF у дна зоны заняты практически полностью, как у металлов. Однако с повышением температуры в связи с перемещением уровня Ферми в запрещенную зону и его смещением к середине запрещенной зоны, как было показано в § 2.5, примесные электроны перераспределяются по большому числу состояний у дна зоны, степень заселенности этих состояний уменьшается и при снижении уровня Ферми ниже дна примесной подзоны на 3k0T

вырождение снимается.

§ 2.8. Компенсированные полупроводники

Рассмотрим случай, когда полупроводник одновременно содержит донорную и акцепторную примеси, т.е.

Íà ðèñ. 2.10,à показана зонная энергетическая диаграмма такого полупроводника.

Рис. 2.10. Зонная диаграмма полупроводника, содержащего донорную

èакцепторную примеси (à), и зависимость положения уровня Ферми

âзапрещенной зоне такого полупроводника от степени компенсации

этих примесей (á)

60