Физические основы микро- и наноэлектроники

ãäå a′ — ускорение электрона под действием силы F, которая не зависит

от координаты, т.е.

F(x) = const.

Потенциальное поле кристаллической решетки изменяет движение электрона в кристалле. В этом случае зависимости E(k) для электрона в кристалле (рис. 1.13,à) и для абсолютно свободного электрона (см. рис. 1.1) существенно отличаются.

Рис. 1.13. Дисперсионные зависимости в первой зоне Бриллюэна для зоны проводимости и валентной зоны (a) и соответствующая зонная диаграмма для модели Кронига — Пенни (á)

Движение электрона в кристалле подчиняется законам квантовой физики и отождествляется с группой волн (волновым пакетом), распространяющихся во времени и в пространстве. Групповая скорость движения волнового пакета равна

Изменение энергии электрона dE, равное совершенной работе dA за время dt, будет

31

32

масса электрона у дна зоны проводимости (E ≈ Ec ) имеет положительный

знак; 2) для электронов на энергетических уровнях в средней части зоны

(1.54)

Таким образом, электроны на нижних уровнях зоны проводимости (у дна зоны) ускоряются в кристалле под действием внешней силы F = −qE. Их движение аналогично движению свободных частиц, имею-

щих эффективную массу и скорость vn . Однако сама эффективная масса не равна массе покоя электрона и может быть определена по формуле (1.53).

33

34

лентной зоне отсутствуют. Поэтому полупроводники при T = 0 Ê íå ïðî-

водят электрический ток (см. § 1.6).

температуре 300 К (принята за комнатную, равную 27 °С) германий Ge имеет E = 0,67 эВ, кремний Si — 1,11 эВ, арсенид галлия GaAs —

1,43 эВ. Интенсивность перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости естественно снижается с ростом ширины запрещенной зоны

35

при постоянной температуре. Поэтому концентрация свободных носителей в вышеперечисленных собственных полупроводниках при T = 300 Ê

будет равна:

1)â Ge ni = 2,5 1013 ñì–3;

2)â Si ni = 1,6 1010 ñì–3;

3)â GaAs ni = 1,1 107 ñì–3.

Энергетическая диаграмма рис. 1.15 соответствует идеальной периодичности кристаллического поля, что обусловлено отсутствием дефектов в кристаллической решетке собственного полупроводника. Схема двумерной кристаллической решетки, характерной для Ge и Si, показана на рис. 1.16,à.

Рис 1.16. Двумерная кристаллическая решетка полупроводника (à) и образование собственных носителей заряда при разрыве

одной из ковалентных связей (á)

Каждый атом в кристаллической решетке связан ковалентными химическими связями с четырьмя ближайшими такими же атомами. В каждой ковалентной связи участвует пара электронов. Разрыв одной ковалентной связи в результате вышеупомянутого теплового воздействия приводит к освобождению одного электрона от связи (рис. 1.16,á). Процесс превращения связанного электрона в свободный электрон носит название генерации. На месте ушедшего электрона образуется незавершенная связь, которая имеет избыточный положительный заряд. Электрон, вырванный из ковалентной связи, соответствует свободному электрону в зоне проводимости, а вакантное место в ковалентной связи — дырке в валентной зоне. В целом кристалл остается электронейтральным, так как каждой образовавшейся положительно заряженной дырке соответствует свободный отрицательно заряженный электрон.

36

§ 1.11. Донорный полупроводник

Рассмотренная в § 1.10 зонная структура собственного полупроводника соответствует идеально правильному периодическому потенциальному полю в кристалле. Отклонения от идеальности обусловливают нарушения энергетической зонной структуры. В реальных кристаллах практически всегда имеются нарушения кристаллической решетки, называемые дефектами.

Рассмотрим случай, когда в кристалле четырехвалентного германия или кремния часть атомов в узлах кристаллической решетки замещена атомами пятивалентного мышьяка, фосфора или сурьмы. На установление химической связи с четырьмя соседними атомами германия атом мышьяка, у которого валентная оболочка содержит пять электронов, должен затратить четыре валентных электрона (рис. 1.17,à).

ñпримесными атомами As (à) и соответствующая зонная структура

ñдонорным уровнем Ed (á)

Пятый электрон, не принимая участия в образовании ковалентных связей между атомом мышьяка и атомами германия, будет взаимодействовать с большим числом атомов кристалла и в результате окажется слабо связанным с атомом мышьяка силой кулоновского взаимодействия, величина которой в ε раз ниже, чем при их взаимодействии в вакууме

(см. выражение (1.14)):

(1.58)

В выражении (1.58) величина ε представляет собой диэлектрическую

проницаемость германия. Поэтому пятый электрон вращается по орбите большего радиуса, чем в индивидуальном атоме мышьяка. Действительно,

37

38

39

полупроводнике эта энергия равна ширине запрещенной зоны, и тогда электрон из валентной зоны переходит в зону проводимости. При наличии в кристаллической решетке германия примесных атомов III группы, в данном случае бора, для образования полной связи, то есть для перехода электрона от связи Ge Ge к связи B—Ge, требуется энергия, величина которой значительно меньше ширины запрещенной зоны. На зонной энергетической диаграмме (рис. 1.19,á) эта энергия Ea − Ev соответствует энер-

гетическому уровню Ea, который называется акцепторным уровнем. Для образования полной связи примесных акцепторных атомов (элементов третьей группы) с атомами германия обычно требуется энергия около 0,01 эВ. Тогда электрон из валентной зоны уходит на создание полной химической связи атомов бора и германия. При этом в валентной зоне появляется свободная дырка с положительным зарядом, а атом бора становится отрицательно заряженным ионом (рис. 1.20,à). В этом случае величина Ea – Ev представляет собой энергию ионизации акцепторного

атома.

==

Рис. 1.20. Ионизация атома акцепторной примеси в двумерной кристаллической решетке полупроводника (à)

и соответствующая этому случаю зонная диаграмма (á)

Близкое расположение акцепторного уровня к валентной зоне (Ea − − Ev ≈ 0,01 эВ) приводит к тому, что при повышении температуры от

0 К электрон из валентной зоны в первую очередь переходит на акцепторный уровень. Связываясь с атомом бора (или других элементов третьей группы), он теряет возможность свободного перемещения в решетке германия. В результате образуется только свободная дырка в валентной зоне (рис. 1.20,á). Эти дырки как подвижные положительные носители заряда принимают участие в электрическом токе через полупроводник, который называется акцепторным. В акцепторном полупроводнике концентрация

40