Физические основы микро- и наноэлектроники

Каждый энергетический уровень электронов в отдельном (индивидуальном) атоме расщепляется в зону. Поэтому количество зон равно числу электронных уровней в атоме, что автоматически приводит к выполнению принципа Паули.

Все энергетические подуровни в зонах, расположенных ниже барьера высотой U0, заняты электронами, вследствие чего такие зоны называются заполненными. В кристалле Na ширина зон, образовавшихся из уровней оболочек 3s è 3p (см. рис. 1.6) такая, что самая верхняя частично заполненная зона 3s и пустая зона 3p перекрывают друг друга.

Полное объяснение механизма расщепления дискретных энергетиче- ских уровней электронов в атомах можно найти в квантовой физике. Простая модель Кронига — Пенни будет рассмотрена в § 1.5.

Реально с физической точки зрения в уравнении Шредингера (1.4) необходимо учесть взаимодействия между всеми электронами и ядрами в единичном объеме кристалла. Строгое решение этого уравнения, в котором примерно 1028 переменных, на современном техническом уровне ЭВМ получить невозможно.

Несколько допустимых приближений для электронов и ядер в кристалле упрощает решение уравнения Шредингера и показывает сложный характер расщепления энергетических уровней электронов в атомах при образовании кристалла. При сближении атомов начинает сказываться влияние на каждый атом электрических полей соседних атомов, что учитывается в уравнении Шредингера (1.4) поправкой потенциальной энергии U(r). Это позволяет, не приводя здесь самого решения, указать каче- ственные закономерности, вытекающие из него.

При сближении атомов происходит, как схематически показано на рис. 1.7, расщепление энергетических уровней электронов на 2N(2l + 1)

близко расположенных подуровней, образующих разрешенную энергети- ческую зону. Здесь N — число атомов, l — орбитальное квантовое число (см. § 1.2). Уровню 1s в индивидуальном атоме (x >> a) соответствует зона 1s в кристалле (x = a0) (ðèñ. 1.7,á), уровню 2s в атоме — зона 2s в кристал-

ле и т.д. Расщепление (расстояние между подуровнями) тем больше, чем ближе сдвигаются атомы.

Самое сильное взаимодействие испытывают электроны наружной оболочки. Поэтому их энергетические уровни расщепляются более сильно, и ширина образующейся зоны в этом случае максимальна.

Взаимодействие между электронами внутренних орбит соседних атомов вследствие экранировки электронами внешних орбит значительно слабее. Следовательно, расщепление внутренних уровней будет слабым, а ширина энергетических разрешенных зон, соответствующих им, — меньше.

21

E E

2p

2s

1s

Рис. 1.7. Энергетические зоны в кристалле (à) и расщепление энергетических уровней электронов

при сближении атомов (á)

Íà ðèñ.1.7,á (справа) при больших расстояниях между атомами энергетические уровни дискретные, как в изолированных атомах. При сближении атомов верхние энергетические уровни начинают расщепляться в первую очередь, образуя зоны. При дальнейшем сближении расщепление верхнего 2p-уровня усиливается и начинается расщепление 2s-уров- ня. К тому моменту, когда атомы уплотняются до характерного для кристалла межатомного расстояния a, энергия электрона в кристалле может принимать только свободные разрешенные значения (в разрешенных зонах). Незаштрихованные зоны (рис. 1.7,à) соответствуют значениям энергии, которые электрон не может принимать. Таким образом, при объединении атомов в кристаллическую решетку твердого тела разрешенные уровни электронов изолированного атома превращаются в зоны разрешенных значений энергий, между которыми расположены зоны запрещенных значений энергий (запрещенные зоны).

§1.5. Модель Кронига — Пенни

Âмодели Кронига — Пенни используется основное свойство потенциального рельефа энергии электрона в кристалле — периодичность функции U(x) (§ 1.3). Движение электрона рассматривается в цепочке прямоугольных потенциальных ям шириной a, отделенных друг от друга прямоугольными потенциальными барьерами высотой U0 и шириной b

22

(рис. 1.8). Период повторения ям, равный a + b, представляет собой посто-

янную кристаллической решетки. Волновая функция, описывающая поведение электрона, является решением уравнения Шредингера (1.4). При движении электрона с энергией E вдоль оси x в цепочке потенциальных барьеров U(x) (см. рис. 1.8) уравнение Шредингера будет иметь вид

Анализ модели Кронига — Пенни (см. рис. 1.8) следует провести для условий:

U(x) = 0 Ô Ë 0 ≤ x ≤ a;

(1.23)

U(x) = U0 Ô Ë a ≤ x ≤ a + b.

Решением уравнения (1.22) является функция Блоха

(1.24)

которая представляет плоскую волну с волновым числом k, промодулированную по амплитуде с помощью функции U(x), период которой совпадает с периодом кристаллической решетки твердого тела.

U

Рис. 1.8. Потенциальный рельеф в модели Кронига — Пенни

Дважды дифференцируя выражение (1.24) и подставляя в (1.22) с уче- том условий (1.23), можно получить уравнение

23

24

Из (1.33) и (1.35) следует, что при jmin = 0 E1 = E1min, à ïðè jmax E1 = E1 max. Физически это означает, что при n = 1 (аналог главного кван-

тового числа электрона в индивидуальном атоме) энергия электрона в кристалле может принимать полосу значений от A1 − B1 äî A1 + B1, в которой дискретным значениям j = 0, ±1, ±2, ..., ±L/2a соответствуют уровни энер-

E

26

§1.6. Проводник, полупроводник, диэлектрик

âсвете зонной теории твердого тела

Энергетические уровни электронов в изолированном атоме расщепляются с учетом вырождения (см. § 1.2) при образовании кристалла на 2N(2l + 1) подуровней в каждой разрешенной зоне (§ 1.4, рис. 1.7,á). Åñëè

единичный объем кристалла (1 см3) образуется из N атомов, то каждая разрешенная энергетическая зона будет содержать 2N(2l + 1) энергетиче-

ских подуровней (см. § 1.4), которые отстоят друг от друга приблизительно на 10–22 ýÂ.

В природе выделяются три типа твердых тел: металлы, полупроводники, диэлектрики. Различия их электрических свойств в физике твердого тела объясняются разным заполнением электронами разрешенных энергетических зон.

Известно, что натрий обладает металлическими свойствами. Уровень 3s в атоме натрия содержит 1 электрон (см. рис. 1.4), вследствие чего зона 3s в кристалле натрия, содержащая 2N состояний (N — число атомов в кристалле натрия (см. рис. 1.5)), была бы заполнена только наполовину. Перекрытие зон 3s (2N состояний) и 3p (6N состояний) при образовании кристалла (см. рис. 1.6) увеличивает число разрешенных к заполнению состояний в верхней разрешенной зоне до 8N при наличии только N электронов, которые в соответствии с принципом Паули занимают нижние энергетические подуровни в этой зоне (рис. 1.10,à). Остальные энергети- ческие подуровни верхней зоны остаются свободными (незаштрихованная область), т.е. способны принимать соответствующее количество электронов.

E

E E

E

E

E

Рис. 1.10. Заполнение электронами верхних энергетических зон: в металлах (à), полупроводниках (á) и диэлектриках (â)

27

Таким образом, в металлах верхняя из зон, содержащих электроны, заполнена ими лишь частично. В ней имеются незанятые энергетические подуровни, и это создает возможность для изменения энергии электронов.

В электрическом поле с напряженностью E электрон, пройдя путь x,

должен получить энергию

(1.40)

то есть совершить работу

(1.41) Ускорение электрона в электрическом поле неизбежно связано с изменением (накоплением) его энергии и, следовательно, с переходом на более высокий свободный энергетический подуровень, который имеется в данной разрешенной зоне. При обычной разности потенциалов энергия, накопленная электроном в электрическом поле на длине свободного пробега, достигает значений выше 10–8 эВ, что достаточно для переходов по свободным энергетическим подуровням в верхней частично заполненной разрешенной зоне, которую принято называть зоной проводимости. Этот процесс связан с упорядоченным движением электронов по кристаллу, т.е. электрическим током. Отсюда следует, что твердые тела с частич- но заполненной электронами зоной проводимости обладают электропроводностью даже при температуре абсолютного нуля (T = 0 К), что характерно

для металлов.

Иная ситуация в полупроводниках и диэлектриках. В этих материа- EAE=>>qFxExq.,El. ëàõ ïðè T = 0 К валентные электроны полностью заполняют соответству-

ющую разрешенную зону, которая называется валентной. Отсутствие свободных состояний в валентной зоне приводит к тому, что электроны этой зоны не могут менять свою энергию под действием электрического поля.

В разрешенной зоне, следующей за валентной и называемой зоной проводимости, при T = 0 К электронов нет, поскольку ширина запрещен-

íîé çîíû E обычно значительно больше, чем энергия, которую может получить электрон в электрическом поле на длине свободного пробега l:

(1.42) Такое заполнение двух самых верхних разрешенных зон (зоны проводимости и валентной зоны) объясняет факт полного отсутствия электропроводности полупроводника и диэлектрика при температуре абсолютно-

ãî íóëÿ.

Условием возникновения электропроводности полупроводников является наличие свободных электронов в зоне проводимости или свободных энергетических уровней в валентной зоне. При нагревании полупроводника часть электронов валентной зоны получает тепловую энергию, величина которой больше запрещенной зоны. Электроны в этом случае перебрасываются на нижние уровни зоны проводимости и получают возможность для дальнейшего увеличения своей энергии в электрическом

28

поле, то есть теперь они могут перемещаться и участвовать в электриче- ском токе.

Таким образом, различие между металлами и полупроводниками по электрофизическим свойствам заключается в следующем:

1)металлы при T = 0 К хорошо проводят электрический ток, т.е. об-

ладают высокой электропроводностью;

2)полупроводники электрический ток при температуре абсолютного нуля не пропускают, т.е. имеют бесконечно высокое электрическое сопротивление.

Энергетическая зонная диаграмма кристаллических диэлектриков (рис. 1.10,â) по виду подобна диаграмме для полупроводников (рис. 1.10,á). Энергетические зонные диаграммы электронов в диэлектриках отлича- ются большой шириной запрещенной зоны. В диэлектриках обычно

E ≥ 3 эВ, в распространенных (типичных) полупроводниках E ≈ 1 эВ. К типичным кристаллическим диэлектрикам относятся углерод ( E = = 5,3 эВ), нитрид бора ( E = 4,6 эВ) и окись алюминия ( E = 7 ýÂ).

Вследствие широкой запрещенной зоны в диэлектриках при T ≈ 300 Ê

переход электронов из валентной зоны в зону проводимости затруднен, количество свободных электронов в зоне проводимости и свободных уровней в валентной зоне чрезвычайно мало. Поэтому твердые диэлектрики в обычных условиях плохо проводят электрический ток.

Рис. 1.11. Зонная энергетическая диаграмма для полупроводников и диэлектриков

29

30