маткад учебник

21

Примеры использования встроенных функций иллюстрируются рис. 5 и 6.

22

Рис. 5. Векторные и матричные функции

23

Собственный вектор, соответствующий первому из собственных чисел

Рис. 6. Собственные значения и вектора вещественных матриц

В Mathcad есть две функции объединения матриц.

Функция augment (A, B) возвращает массив, сформированный расположением массивов А и В бок о бок. Массивы А и В должны иметь одинаковое число строк.

Функция stack (A, B) возвращает массив, сформированный расположением В под А. Массивы А и В должны иметь одинаковое число столбцов.

Функция submatrix (A, ir, jr, ic, jc) возвращает субматрицу, состоящую из всех элементов, содержащихся в строках с ir по jc и в столбцах с ic по jc. Чтобы поддержать порядок строк и (или) столбцов, удостоверьтесь, что ir ≤ jr и ic ≤ jc, иначе порядок строк и (или) столбцов будет обращен. Примеры использования этих функций приведены на рис. 7.

24

Рис. 7. Примеры формирования новых матриц

25

2.3. Дискретные аргументы

Дискретный аргумент – переменная, которая принимает ряд значений при каждом ее использовании. Дискретные аргументы значительно расширяют возможности Mathcad, позволяя выполнять многократные вычисления или циклы с повторяющимися вычислениями.

Если набрать на клавиатуре

k:1,1.1;2

на экране появится определение дискретного аргумента

k:= 1,1.1..2

В этом определении:

переменная k – имя дискретного аргумента. Это должно быть простое имя. Никакие нижние индексы или функциональные определения не допустимы;

число 1 – первое значение, принимаемое аргументом k;

число 1.1 – второе значение k. Обратите внимание, что это не размер шага. Размер шага в этом примере 0.1, разница между 1.1 и 1. Размер шага может быть как положительным числом, так и отрицательным. Если опустить запятую и 1.1, Mathcad примет размер шага равным 1 в подходящем направлении;

число 2 – последнее число в диапазоне. Если третье число в определении диапазона не равно целому числу приращений начального значения, аргумент все равно не выйдет за его пределы.

Можно использовать произвольные скалярные выражения вместо 1, 1.1 и 2. Однако эти значения должны быть вещественными числами. Рис. 8 показывает результаты различных определений дискретного аргумента.

Для набора букв греческого алфавита используйте палитру символов αβ . Последний пример на рис. 8 сравните с аналогичным примером, приведенным на рис. 3.

26

2

xi

Рис. 8. Некоторые допустимые определения дискретного аргумента

27

В инженерной практике дискретные аргументы часто используют, чтобы выполнить многократные вычисления нескольких переменных одновременно. Рассмотрим модель эпизоотии с четырьмя переменными: i – число инфицированных животных; v - число восприимчивых; d – число умерших; r – число выздоровевших и приобретших иммунитет. Четыре уравнения, которые связывают эти переменные в каждый момент:

Рис. 9. Вычисления в модели распространения инфекции

28

it+1 = 0,0001vt it , vt+1 = vt – 0,0001vt it , dt+1 = dt + 0,55it , rt+1 = rt + 0,45it .

Если задать цикл изменения дискретного аргумента t, то Mathcad будет выполнять цикл для каждого уравнения перед переходом к следующему уравнению.

Для того чтобы значения переменных для следующего значения t вычислялись одновременно, необходимо создать единую формулу. Это возможно с использованием векторных обозначений.

Решение задачи для конкретных начальных условий приведено на рис. 9.

Возможно также выполнить рекурсивные вычисления, начинающиеся с вектора и возвращающие каждый раз новый вектор. При этом удобно использовать оператор верхнего индекса Mathcad. Рассмотрим это на примере численного интегрирования системы дифференциальных уравнений вида

dX(t) =

AX(t)

dt

с известным начальным вектором Х(0). Перейдем к конечным разностям, полагая

dX(t) ≈ ∆ X(t=) X(tk−) X(tk −1) ,

dt ≈ ∆t ,

и перепишем исходную систему уравнений в виде рекурентного соотношения

X(tk ) = X(tk −1) + AX(tk −1)∆ t .

Перепишем последнее соотношение с использованием верхнего индекса Mathcad

X<k> := X<k–1> + A X<k–1> ∆ t.

Здесь верхний индекс обозначает номер столбца матрицы Х. На рис. 10 приведена программа численного интегрирования системы уравнений 3-го порядка.

29

Рис. 10. Рекурсивные вычисления с использованием верхнего индекса Mathcad

Для ввода верхнего индекса нажмите [Ctrl+6]. Появится поле между угловыми скобками < >, которое заполняется дискретным аргументом k или k – 1. Результаты расчетов хранятся в матрице Х. Каждый столбец этой матрицы представляет собой значение вектора Х для разных моментов времени от начального момента t = 0 до конечного момента t = 8∆ t.

30