- •Электромагнетизм Некоторые сведения из математики
- •Лекция 1 электростатика
- •Лекция 2
- •1) Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.
- •2) Поле двух бесконечных параллельных плоскостей, заряженных равномерно разноимёнными зарядами с плотностями и .
- •Теорема Остроградского – Гаусса в дифференциальной форме.
- •Лекция 3 Проводники в электрическом поле
- •Электрическое поле у поверхности проводника
- •Силы, действующие на поверхность проводника
- •Свойства замкнутой проводящей оболочки
- •Общая задача электростатики. Уравнение Пуассона
- •Электроёмкость Электроёмкость уединённого проводника
- •Лекция 4 Электрическое поле в диэлектрике Электрический диполь в электрическом поле
- •Сила, действующая на диполь в электрическом поле
- •Поляризация диэлектрика
- •Вектор электрического смещения
- •Поле на границе раздела диэлектриков
- •Поле на границе проводник – диэлектрик
- •Некоторые важные следствия по теме:
- •Лекция 5 Энергия электрического поля
- •Постоянный электрический ток –
- •Уравнение непрерывности
- •Разветвлённые цепи
- •Закон Джоуля–Ленца
- •1). Однородный участок цепи
- •2). Неоднородный участок цепи
- •Лекция 6 Магнитное поле в вакууме
- •Магнитное поле равномерно движущегоя заряда
- •Закон Био – Савара
- •Основные законы магнитного поля
- •1). Магнитное поле прямого тока I:
- •2). Магнитное поле соленоида, по которому протекает ток I:
- •3). Магнитное поле тороида:
- •Лекция 7 Проводники с током в магнитном поле Закон Ампера
- •Момент сил, действующих на контур с током
- •Магнитное поле в веществе
- •Вектор вектор напряжённости магнитного поля
- •Магнитное поле на границе раздела магнетиков
- •Лекция 8
- •Движение заряженных частиц в электрическом и
- •Магнитном полях
- •Движение заряженных частиц в постоянном магнитном поле
- •Отклонение движущихся заряженных частиц электрическим и магнитным полями
- •Ускорители заряженных частиц
- •Преобразования Лоренца для электрических и магнитных полей
- •Электромагнитная индукция
- •Природа электромагнитной индукции
- •Явление самоиндукции
- •Взаимная индукция
- •Энергия магнитного поля
- •Магнитное давление
- •Лекция 10 Уравнения Максвелла для электромагнитного поля
Магнитное поле равномерно движущегоя заряда
Опыт показывает, что само магнитное поле порождается движущимися зарядами (электрическими токами). Экспериментально была установлена зависимость
, где
Гн/м – магнитная постоянная;
радиус-вектор, проведённый от заряда к точке, где определяется вектор.
Т.к. начало радиус-векторадвижется вместе с зарядом со скоростью, то векторв данной системе отсчёта зависит не только от координат точки но и от времени.
Вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторыипо правилу правого винта.
Единицей магнитной индукции в системе СИ является тесла (Тл).
Так как, электрическое поле точечного заряда q , движущегося с нерелятивистской скоростью, описывается выражением
, то можно записать
, где
электродинамическая постоянная, равная скорости света в вакууме.
Принцип суперпозиции – магнитное поле, создаваемое несколькими движущимися зарядами или токами, равно векторной сумме полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности:
Закон Био – Савара
Этот закон позволяет находить индукцию магнитного поля, создаваемого постоянным электрическим током.
Подставим в выражение для индукции магнитного поля движущегося точечного заряда вместо, где– элементарный объём,объёмная плотность электрического заряда.
Так как , то получаем
.
Учитываем, что , где– элемент длины провода.
Введя вектор в направлении токаможно записать.
И тогда окончательно получаем закон Био – Савара (иногда называют закон Био – Савара – Лапласа):
.
Полное поле в соответствии с принципом суперпозиции получается интегрированием:
или .
Пример 1. Магнитное поле прямого тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины.
В произвольной точке А векторыот всех элементов тока имеют одинаковое направление (от нас).
.
Из рисунка видно, что и.
Тогда .
Угол для всех элементов бесконечного прямого проводника с током изменяется в пределах от нуля доπ.
Интегрируя, получаем
.
Пример 2. Магнитное поле на оси кругового тока.
От всех элементов тока будет образовываться конус векторов , а результирующий векторв точке А будет направлен по осиZ.
Проекция на осьZ:
.
Интегрируя по всему круговому витку получаем
.
Т.к. и, то.
При (в центре витка).
На большом расстоянии .
Основные законы магнитного поля
Как и любое другое векторное поле, поле может быть представлено с помощью линий вектора. Их проводят обычным способом – так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора, а густота линий была бы пропорциональна модулю векторав данной точке пространства.
1). Теорема Гаусса для поля :поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:
.
Т.е. линии вектора не имеют ни начала, ни конца. Поэтому число линий вектора , выходящих из любого объёма, ограниченного замкнутой поверхностьюS, всегда равно числу линий, входящих в этот объём.
Из теоремы Гаусса следует так же то, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора , т.е. магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
В дифференциальной форме теорема Гаусса для поля имеет вид
или , т.е.
Дивергенция поля всюду равна нулю. Этот закон справедлив не только для постоянных, но и для переменных магнитных полей.
2). Теорема о циркуляции вектора (для магнитного поля постоянных токов в вакууме).
Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:
.
Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Если ток I распределён по объёму, то его можно представить как , гдеS – произвольная поверхность, натянутая на контур l .
Векторобразует с направлением обхода контура правовинтовую систему.
В общем случае .
Из теоремы о циркуляции следует, что магнитное поле не потенциальное (в отличие от электростатического). Такое поле называют вихревым или соленоидальным.
Теорема о циркуляции вектора позволяет намного легче чем закон Био – Савара вычислять магнитные поля в некоторых симметричных системах.
В дифференциальной форме теорема о циркуляции вектора имеет вид:
или
Ротор поля вектора магнитной индукции равен произведению магнитной постоянной на плотность электрического тока в данной точке пространства.
Применение теоремы о циркуляции вектора