- •Электромагнетизм Некоторые сведения из математики
- •Лекция 1 электростатика
- •Лекция 2
- •1) Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.
- •2) Поле двух бесконечных параллельных плоскостей, заряженных равномерно разноимёнными зарядами с плотностями и .
- •Теорема Остроградского – Гаусса в дифференциальной форме.
- •Лекция 3 Проводники в электрическом поле
- •Электрическое поле у поверхности проводника
- •Силы, действующие на поверхность проводника
- •Свойства замкнутой проводящей оболочки
- •Общая задача электростатики. Уравнение Пуассона
- •Электроёмкость Электроёмкость уединённого проводника
- •Лекция 4 Электрическое поле в диэлектрике Электрический диполь в электрическом поле
- •Сила, действующая на диполь в электрическом поле
- •Поляризация диэлектрика
- •Вектор электрического смещения
- •Поле на границе раздела диэлектриков
- •Поле на границе проводник – диэлектрик
- •Некоторые важные следствия по теме:
- •Лекция 5 Энергия электрического поля
- •Постоянный электрический ток –
- •Уравнение непрерывности
- •Разветвлённые цепи
- •Закон Джоуля–Ленца
- •1). Однородный участок цепи
- •2). Неоднородный участок цепи
- •Лекция 6 Магнитное поле в вакууме
- •Магнитное поле равномерно движущегоя заряда
- •Закон Био – Савара
- •Основные законы магнитного поля
- •1). Магнитное поле прямого тока I:
- •2). Магнитное поле соленоида, по которому протекает ток I:
- •3). Магнитное поле тороида:
- •Лекция 7 Проводники с током в магнитном поле Закон Ампера
- •Момент сил, действующих на контур с током
- •Магнитное поле в веществе
- •Вектор вектор напряжённости магнитного поля
- •Магнитное поле на границе раздела магнетиков
- •Лекция 8
- •Движение заряженных частиц в электрическом и
- •Магнитном полях
- •Движение заряженных частиц в постоянном магнитном поле
- •Отклонение движущихся заряженных частиц электрическим и магнитным полями
- •Ускорители заряженных частиц
- •Преобразования Лоренца для электрических и магнитных полей
- •Электромагнитная индукция
- •Природа электромагнитной индукции
- •Явление самоиндукции
- •Взаимная индукция
- •Энергия магнитного поля
- •Магнитное давление
- •Лекция 10 Уравнения Максвелла для электромагнитного поля
Лекция 2
Число линий, пронизывающих элементарную площадкуdS , нормаль которой составляет уголα с вектором определяют как. Эту величину называют потокомвекторасквозь площадкуdS:
.
Если имеется некоторая произвольная поверхность S , то поток вектора сквозь неё
.
Эта величина алгебраическая. В случае замкнутых поверхностей, положительное направление нормали принято выбиратьнаружу области, охватываемой этими поверхностями (внешняя нормаль).
Теорема Остроградского – Гаусса: поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен отношению алгебраической суммы электрических зарядов, находящихся внутри этой поверхности, к электрической постоянной .
.
Если заряды распределены непрерывно с объёмной плотностью , зависящей от координат, то
,
Где интегрирование производится только по объёму, заключённому внутри замкнутой поверхности S.
Если поле создаётся системой точечных зарядов , то. Тогда
.
Само поле зависит от конфигурации всех зарядов, а поток сквозь произвольную замкнутую поверхностьS определяется только алгебраической суммой зарядов внутри поверхности S.
Применение теоремы Остроградского – Гаусса.
1) Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.
Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью . Линии напряжённости перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от неё в обе стороны.
В качестве Гауссовой поверхности примем поверхность цилиндра, образующие которого перпендикулярны заряженной плоскости и лежат по разные стороны от неё.
Поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю. Поэтому полный поток через всю поверхность . Внутри цилиндра заключён заряд.
По теореме Остроградского – Гаусса .
Полученный результат справедлив только для бесконечной плоской поверхности, однако он приближённо справедлив и для области, прилегающей к средней части конечной равномерно заряженной плоской поверхности, вдали от её краёв.
2) Поле двух бесконечных параллельных плоскостей, заряженных равномерно разноимёнными зарядами с плотностями и .
Это поле можно легко найти как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности.
Поле сосредоточено между плоскостями и является однородным в этой области.
3) Поле бесконечного круглого цилиндра радиуса R (или бесконечной нити), заряженного равномерно по поверхности так, что на единицу длины приходится заряд .
Из соображений симметрии следует, что поле здесь имеет радиальный характер, т.е. вектор в каждой точке перпендикулярен оси цилиндра, а модуль векторазависит только от расстоянияr до оси цилиндра.
Возьмём замкнутую Гауссову поверхность в форме коаксиального прямого цилиндра радиуса r и высотой h . Тогда , а.
По теореме Остроградского – Гаусса
для иЕ = 0 при r < R т.к. внутри цилиндра зарядов нет. Внутри равномерно заряженного по поверхности круглого бесконечного цилиндра поля нет.
4) Поле сферической поверхности радиусом R, заряженной равномерно зарядом q.
Это поле центрально симметричное. Возьмём в качестве замкнутой Гауссовой поверхности концентрическую сферу радиусом r > R. Тогда .
По теореме Остроградского – Гаусса .
При r < R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов и поэтому внутри заряженной сферы Е = 0.
5) Поле равномерно заряженного шара. Пусть заряд q равномерно распределён по шару радиусом R. Здесь поле также центрально симметричное. Вне шара (r > R) поле такое же как от заряженной сферы или точечного заряда .
Внутри шара для замкнутой поверхности в виде сферы радиусом r < R имеем и.
По теореме Остроградского – Гаусса
Внутри шара напряжённость растёт линейно с расстоянием r от его центра.