Методические указания

Физической формой представления выходных сигналов могут являться, например, импульсно-потенциальные напряжения с различными уровнями U , а математической формой — число в системе счисления с основанием рав-

ным двум (N2 ).

В символической форме процесс преобразования математической и физической форм представления информации посредством ПНК можно представить в виде:

[Θ(ms );ψ(U−,U )→ Θ(N2 );ψ(U )]ПНК.

Таким образом, можно отметить, что ПНК решает задачу согласования источника и приемника по математической и физической форме представления информации, что символически может быть выражено в упрощенной записи:

(ms ;U− )ИСТ ~ [ms ;U− →(N2 ;U )]ПНК ~ (N2 ;U )ПР,

которая означает, что разрешающая способность выходных напряжений постоянного U− и переменного U~ тока источника информации должна соот-

ветствовать разрешающей способности ПНК. Аналогичным образом двоичная форма представления в виде напряжения выходных сигналов ПНК должна соответствовать этим же параметрам приемника информации. При этом имеется в виду не количественное, а только качественное выражение условий согласования по указанным параметрам.

Прежде чем перейти к количественной оценке условий согласования преобразователя информации с источником и приемником, рассмотрим физическую и математическую сущность идеального процесса преобразования, т.е. без учета воздействия помех.

На рис.5.6 представлен процесс прямого S()t →N()t и обратного N()t →S()t преобразований.

Процесс прямого преобразования имеет два этапа:

а) квантование непрерывного сигнала, в результате которого сигнал S()t заменяется сигналом j S(i t), т.е. принимает ближайшее значение по шкале квантования по уровню j S в моменты времени i t ;

б) кодирование, в результате которого квантованный сигнал, представленный в системе счисления с основанием, равным разрешающей способности по уровню m1 >> 2 , заменяется представлением его в двоичной системе счис-

ления при m2 = 2. При этом динамическая составляющая сигнала до преобразования может быть выражена как D1 =logm1, а после преобразования — D2 =logm2 . Из рис.5.6 также видно, что одному элементу непрерывного сигнала до кодирования (n1 =1)соответствует n2 > 2 элементов после кодирования за одно и то же время t1.

76

В идеальном случае, без учета помех и при равновероятном и независимом распределении уровней сигналов, количество информации, содержащееся в сигнале до преобразования I0 (S ) должно быть равно количеству информа-

ции после преобразования I0 (N ), т.е. должно быть выполнено соотноше-

ние:

I0 (S )= I0 (N ),

которое может быть представлено в виде:

logm1n1 =logm2n2.

На основании последнего с учетом рис.5.5 может быть записано следующее соотношение:

Из равенства F1D1 = F2D2 следует, что в процессе преобразования проис-

ходит взаимообмен между динамической составляющей и спектром сигнала при неизменном времени преобразования T1 = t1, затрачиваемом на снятие

одного отсчета.

При обратном преобразовании, в отличие от прямого, после декодирования может быть получен сначала квантованный сигнал, а после сглаживания – непрерывный.

Оценка экономичности преобразования информации может быть выполнена на основании выражения:

ϕ (V )=1− F1 D1 , F2 D2

так как

T1 = t1 = n2 t2 =T2.

5.4. Оценка точности и скорости преобразования сигналов.

Основными количественными параметрами преобразования являются точность и скорость преобразования.

Точность преобразования определяют: методическая погрешность, зависящая, главным образом, от параметров квантования, и инструментальная погрешность, зависящая от конструктивных и технологических причин. По величине указанных погрешностей судят о точности преобразования.

Различают статическую и динамическую точность преобразования. Статическая точность ПНК характеризуется погрешностью преобразования

при скорости изменения входного сигнала, равной нулю, т.е. при S&()t =0 и может быть выражена:

77

Статическая точность может быть выражена также посредством среднеквадратической ошибки преобразования:

Причем, равенство p(x)= 1S указывает на то, что для входного сигнала в

пределах шага квантования принят равномерный закон распределения.

На основании приведенных выше соотношений и выражений можно выразить число разрядов преобразователя:

Динамическая точность ПНК характеризуется погрешностью преобразования при скорости изменения входного сигнала, не равной нулю, т.е. при S&()t ≠0 и может быть выражена на основании равенства 2.17 как:

Если скорость изменения сигнала, поступающего от источника, S&()t не бу-

дет превышать допустимую для ПНК, то можно принять, что динамические ошибки будут находиться в пределах статических, т.е. если

геометрическая интерпретация которой дана на рис.3, где i — порядковые номера отсчетов о шкале времени.

Быстродействие ПНК или его пропускная способность может быть выражена скоростью преобразования разрядов:

скоростью преобразования кодовых эквивалентов:

78

или максимальной скоростью изменения входного сигнала:

Как будет показано в дальнейшем, ПНК могут быть построены с постоянным

ипеременным шагом квантования как по времени, так и по уровню.

5.5.Выбор разрядности АЦП при заданной погрешности входной аналоговой величины.

Выбор оптимального соотношения погрешностей преобразуемых аналоговых сигналов и ПНК является одной из основных задач, связанных с условиями их согласования по точности.

Допустим, что выходной сигнал датчика имеет погрешность δx , а ПНК, как квантующий элемент, характеризуется погрешностью δy .

Суммарная погрешность при независимости величин x и y может быть представлена как δz =δx +δy. Из соотношения для разрешающей способ-

ности ПНК:

m=100

δy

следует, что с уменьшением погрешности δ y разрешающая способность ПНК возрастает и в пределе:

lim δz =δx.

m→∞

Однако, повышение разрешающей способности ПНК связано с увеличением его разрядности, а, следовательно, и с усложнением схемы.

В связи с этим необходимо решить задачу оптимального соотношения погрешностей аналоговой величины и разрешающей способности ПНК. Одним из вариантов решения указанной задачи является выбор шага квантования ПНК в зависимости от заданного допустимого увеличения суммарной погрешности за счет шага квантования. С целью решения указанной задачи выразим суммарную погрешность преобразования через среднеквадратическое значение как

79

Пример 5.2. Пусть требуется, чтобы погрешность за счет квантования увели-

нием 5.3 приведена на рис.5.7а.

Другим возможным вариантом решения этой задачи является непосредственное определение числа разрядов ПНК в зависимости от диапазона изменения аналоговой величины, а также от заданного увеличения суммарной погрешности преобразования за счет квантования.

В качестве исходных параметров примем нормированные значения шага квантования и диапазона изменения сигнала:

а также разрешающую способность

80

Из кривых, построенных в соответствии с выражением 5.5 и приведенных на рис.5.7б следует, что по мере увеличения числа разрядов влияние погрешности, вносимой ПНК за счет квантования, резко уменьшается.

На основании выражения 5.5 можно определить число разрядов n в зависи-

Оценить зависимость суммарной погрешности преобразования от соотношения погрешностей x =σx и y =δy можно на основании их законов распре-

деления.

Так, если погрешность x , характеризующая непрерывный сигнал Sx на выходе датчика, подчиняется нормальному закону распределения:

то плотность вероятности суммарной погрешности z при независимом x и

Подставим в выражение 5.7 законы распределения величин x и y :

81

и используя подстановку

t= z−y

σx

приведения полученного выражения к функции Лапласа с учетом нормированных значений случайных величин, найдем:

(5.8)

На рис.5.7в приведены кривые, построенные в соответствии с выражением

5.8.

Таким образом, приведенные выше выражения позволяют инженерупроектировщику производить количественную оценку основных параметров, связанных с преобразованием информации.

5.6. Особенности многоканального преобразования информации.

В основе построения многоканальных преобразователей информации лежит принцип временного разделения преобразуемых сигналов, сущность которого представлена на рис. 5.8.

Как следует из временной диаграммы, отсчеты непрерывных сигналов снимаются циклически через определенные интервалы времени TЦ , т.е. дис-

кретно во времени.

Возможность временного разделения непрерывных сигналов базируется на двух основных теоретических концепциях.

Первая из них, разработанная В.А.Котельниковым, и состоит в том, что передача непрерывного сигнала с ограниченным спектром может быть заменена передачей его мгновенных значений в дискретные моменты времени, исходя из условия:

t =TЦ = 21Fc ,,

где Fc — верхняя граница спектра непрерывной функции; t — интервалы времени между отсчетами.

82

Тогда количество отсчетов для непрерывного сигнала, действующего в интервале времени TЦ может быть определено как:

nt =TЦt =2Fc Tc.

Из теоремы Котельникова вытекает принципиальная возможность многоканальной передачи непрерывных сигналов с временным разделением, состоящая в том, что промежутки времени между отсчетами данной функции могут быть использованы для снятия отсчетов других функций, как показано на рис.5.8.

Анализу теоремы Котельникова в настоящее время посвящено большое количество работ и др., вследствие чего затронутые в них вопросы здесь не рассматриваются. Однако, следует отметить некоторые ограничения применимости теоремы Котельникова для условий многоканального преобразования информации.

Первое из ограничений состоит в том, что, в соответствии с выражением Котельникова:

используемым для разложения непрерывной функции в ряд (рис.5.9), функция не должна иметь ограничений во времени. В реальных же условиях, особенно при снятии отсчетов в процессе многоканального кодирования, отсчетные функции ограничены во времени. Ограничение же непрерывных функций во времени в соответствии с преобразованием Фурье указывает на необходимость снятия ограничений протяженности спектра.

Одновременное же ограничение спектра и длительности непрерывной функции приводит к появлению погрешности в интервалах между точками отсчетов функции, восстанавливаемой по теореме Котельникова в соответствии с выражением 5.9. Характер возникающей при этом погрешности показан на рис.5.9в.

Второе ограничение состоит в том, что выражение 5.9 предусматривает восстановление передаваемой функции по мгновенным значениям посредством идеального фильтра нижних частот. В процессе же кодирования непрерывных сигналов задача восстановления передаваемого сигнала обычно не рассматривается, вследствие чего вряд ли можно признать правомерным для рассматриваемого случая использование условий временного квантования сигналов по теореме Котельникова.

Однако при построении МПКН в процессе преобразования кодов в соответствующие уровни напряжения теорема Котельникова может быть применена с учетом первого ограничения для определения дискретности кодов, поступающих с выхода ЦВМ. Можно отметить и третье ограничение, связанное с двумя первыми, которое состоит в том, что каждое из слагаемых ряда 5.9

83

представляет собой реакцию фильтра нижних частот на единичный импульс, соответствующий мгновенному значению непрерывного сигнала в точке отсчета (рис.5.9). В реальных же условиях длительность снятия каждого отсчета зависит от быстродействия преобразователя напряжения в код (ПНК), а точность снятия отсчетов по уровню зависит от погрешности опрашиваемого датчика и погрешности ПНК.

Вторая концепция, связанная с первой и указывающая на возможность временного разделения непрерывных сигналов, основана на ограничении точности и скорости изменения сигналов и состоит в том, что если отсчеты сигналов одной из непрерывных функций будут взяты через интервалы времени, в течение которых изменения сигналов не будет превышать допустимую величину, как показано на рис.5.12, то как и в случае первой концепции, интервалы времени между отсчетами данной функции могут быть использованы для снятия отсчетов других функций без ущерба для первой.

Исходными параметрами для временного разделения сигналов в этом случае могут быть погрешность δs и скорость изменения сигналов S&. В соответст-

вии с рис.5.10 и 5.11 многоканальное преобразование информации на примере управляющей ЦВМ может осуществляться как на входе, так и на выходе. При прямом преобразовании МПНК с последовательным опросом датчиков выполняет следующие функции: а) временное разделение непрерывных сигналов опрашиваемых датчиков; б) квантование сигналов по времени и по уровню; в) кодирование квантованных сигналов каждого из датчиков.

При обратном преобразовании МПКН выполняет обратные функции: а) преобразование двоичных кодов в соответствующие уровни напряжения; б) временное разделение кодов; в) сглаживание, если это необходимо, квантованных сигналов с целью приближения их к непрерывным.

При последовательном многоканальном преобразовании сигналов в соответствии с рис.5.12а продолжительность одного цикла преобразования может быть выражена как:

TЦ =kT0 =k(TП +tС ),

где k — число каналов, используемых для опроса датчиков или для обслуживания исполнительных органов управляемого объекта;

TП — время преобразования i-го канала; tС — время скважности;

T0 — общее время преобразования i-го канала с учетом скважности.

Как при прямом, так и при обратном многоканальном преобразовании полагаем, что за время TЦ преобразуемые сигналы изменяются в пределах шага

квантования S . В этом случае будет обеспечено сохранение информации, определяемое разрешающей способностью непрерывных сигналов.

84

При оценке быстродействия многоканальных преобразователей информации (МПИ) необходимо различать скорость преобразования i-го канала и скорость преобразования МПИ в целом.

Так, например, скорость преобразования информации i-го канала МПНК с

Максимальная скорость изменения сигнала i-го датчика на входе такого же МПНК будет иметь значение:

Быстродействие или пропускная способность МПНК последовательного действия может быть выражена как

может быть различной за счет различных значений шага квантования как по

Из выражений 5.13 и 5.14 следует, что пропускная способность МПНК с последовательным опросом k - датчиков не может превышать пропускную способность собственно ПНК. При этом также можно утверждать, что применение МПНК последовательного действия обеспечивает выигрыш в конструктивном отношении за счет многократного использования одного и того же ПНК при опросе различных датчиков.

85