Методические указания

При цифровом принципе моделирования непрерывному изменению моделируемой математической величины x соответствует пропорциональное изменение числового кода N .

3.3. Представление информации в зависимости от используемых параметров физического носителя.

Одни и те же физические носители могут быть использованы для представления как аналоговой, так и цифровой информации.

Так, например, на рис.3.5 иллюстрируется представление информации с непрерывным (плавным) изменением параметров физического носителя.

Временные диаграммы отражают плавные (непрерывные) изменения амплитуды, частоты и фазы синусоидального напряжения, пропорциональные изменению некоторого сообщения x = f (t) .Физическим носителем здесь является

напряжение переменного тока, а переменными параметрами — амплитуда, фаза, частота.

В этом случае можно говорить о непрерывно-амплитудной модуляции несущей (НАМ), непрерывно-частотной модуляции (НЧМ) и непрерывно-фазовой модуляции (НФМ).

Соответствие между сообщением x = f (t) и непрерывными переменными параметрами могут быть выражены посредством масштабных соотношений:

На рис.3.6 иллюстрируется представление информации с непрерывноимпульсным изменением параметров физического носителя.

В этом случае состояния непрерывно изменяющихся параметров фиксируется за конечный интервал времени T . При этом образуются различные виды модуляции.

44

При амплитудно-импульсной модуляции (АИМ) уровни напряжения постоянного тока U1− и U2− (или огибающей амплитуды напряжения переменного то-

ка U1 и U2 ) пропорциональны значениям сообщений x1(t) и x2 (t) .

При широтно-импульсной модуляции (ШИМ) длительности импульсов τ1 и τ2

относительно начала временных интервалов T пропорциональны значениям

x1(t) и x2 (t) .

Эти же сообщения x1(t) и x2 (t) могут быть выражены посредством кодово-

импульсной модуляции (КИМ), т.е. двоичным кодом.

В этом случае сообщения x1(t) и x2 (t) полностью теряют свойства непрерыв-

ности и становятся дискретными, поскольку при кодово-импульсной модуляции отсутствуют плавные изменения параметров носителя, пропорциональные непрерывным сообщениям. С математической точки зрения сообщения x1(t) и

x2 (t) приобретают свойства цифровой информации, т.е. могут быть представ-

лены в двоичном, двоично-десятичном, циклическом и других кодах. Независимо от того, какие коды будут использованы для представления информации, кодовые признаки могут быть выражены посредством различных физических носителей с дискретным изменением параметров.

На рис.3.7 иллюстрируется представление цифровой информации с дискретным изменением параметров физического носителя. При этом образуются различные виды модуляции, сущность которых состоит в следующем.

При амплитудной модуляции (АМ) единичным значениям кода соответствует дискретное (ступенчатое) изменение амплитуды напряжения переменного тока, используемого в качестве физического носителя.

При амплитудно-импульсной модуляции (АИМ) имеют место соответствующие изменения амплитуды импульсов.

В случае фазовой модуляции (ФМ) единичным значениям кода соответствует изменение фазы несущей синусоидального напряжения, а в случае фазовоимпульсной модуляции (ФИМ) — соответствующее изменение фазы последовательности импульсов.

При относительно-фазовой модуляции (ОФМ) фаза несущей меняется относительно предыдущего значения фазы каждый раз с появлением нового последующего единичного признака кода.

45

При частотной модуляции (ЧМ) единичным признакам сообщения соответствует скачкообразное изменение частоты несущей синусоидального напряжения или частоты последовательности импульсов (ЧИМ).

Если единичным признакам кода соответствует изменение частоты несущей в некоторой заданной полосе частот, то имеет место широкополосная модуляция

(ШПМ).

Таким образом, изложенное выше еще раз подтверждает неразрывность математической и физической форм представления информации.

Правильный выбор физического носителя и его параметров для представления информации в значительной мере определяет эффективность и надежность (верность) протекания информационных процессов в ИВС.

3.4. Представление информации в зависимости от используемой системы счисления.

Всовременных электронных цифровых вычислительных устройствах наибольшее распространение получила двоичная система счисления в связи с наиболее простой технической реализацией элементов с двумя устойчивыми состояниями.

Наряду с этим используются также троичная, восьмеричная, двоичнодесятичная и другие системы счисления.

Вобщем случае любое число, состоящее из целой и дробной частей (неправильная дробь) может быть записано в виде

Nq =αnqn +αn−1qn−1 +K+α1q1 +α0q0 +α−1q−1 +K,

где

q — основание системы счисления, определяемое количеством различных сим-

волов, используемых для представления чисел; α —конкретное значение символа из совокупности символов, используемых в данной системе счисления;

n — порядковый номер старшего разряда.

На основании общего выражения для Nq любое число в десятичной системе

N10 =αn10n +αn−110n−1 +K+α1101 +α0100 +α−110−1 +K, где q =10 и α =0,1, 2,K9.

46

В двоичной системе счисления q =2, а α принимает два значения 0 и 1. В об-

щем случае запись чисел в двоичной системе будет:

N2 =αn 2n +αn−12n−1 +K+α121 +α0 20 +α−12−1 +K.

Ввосьмеричной системе счисления q =8 при α =0,1, 2,K7.

Вобщем виде

N8 =αn8n +αn−18n−1 +K+α181 +α080 +α−18−1 +K.

Восьмеричная система применяется в ЦВМ как вспомогательная. Запись чисел в восьмеричной системе в 3 раза короче, чем в двоичной системе счисления, а перевод из одной системы счисления в другую прост в связи с возможностью представления восьмеричных чисел триадами двоичных эквивалентов, что видно из табл.3.1.

В общем случае любое десятичное число в двоично-десятичной системе может быть записано как:

47

N2−10 = 10n(a1 8+a2 4 +a3 2 +a4 1) +

+10n−1(b1 8+b2 4 +b3 2 +b4 1) + +K+101(c1 8+c2 4 +c3 2 +c4 1) + +100(r1 8+r2 4 +r3 2 +r4 1) + +10−1(s1 8+s2 4 +s3 2 +s4 1) +K,

где a, b, c, r, s принимают значение “0” или “1”.

3.5. Представление информации в циклическом коде Грея.

Особенность циклического кода Грея состоит в том, что соседние кодовые эквиваленты отличаются только в одном из разрядов, что обеспечивает более высокую помехоустойчивость при передаче и преобразовании информационных сигналов.

Сопоставление циклического кода Грея с двоичным в соответствии с таблицей позволяет отметить, что цифры старших разрядов двоичного и циклического кодов всегда совпадают: четная сумма единиц циклического кода Грея соответствует четному десятичному числу (см. табл.3.2.).

Таблица 3.2

48

Если обозначить A1, A2,K, An — цифры разрядов двоичного кода; a1,a2,K,an — цифры разрядов циклического кода; k — число разрядов; n

— порядковый номер старшего разряда, то сформулированное выше правило

можно выразить аналитически в виде: an = An;

an−1 = An + An−1(mod2)

an−2 = An−1 + An−2 (mod2)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ak = Ak −1 + Ak (mod2).

Проверить указанное правило можно, используя таблицу 3.2.

Второе правило: Чтобы число в двоичном коде перевести в циклический код, начиная с младшего разряда, необходимо двоичное число сложить по (mod 2) с таким же числом, но сдвинутым на один разряд вправо, отбросив младший разряд сдвинутого числа. В аналитическом виде:

An, An−1, An−2,K, Ak

Пример 3.1. Перевести десятичное число 13, представленное в двоичном коде, в циклический код.

Решение. Произведем перевод на основании второго правила:

N10 =13→ N2 =1101| 110|1

_________________ | ______

Nц =1011| (mod2)

Правила перевода чисел из циклического кода (ЦК) в двоичный код (ДК).

Первое правило: Чтобы выполнить перевод числа из циклического кода в двоичный, начиная со старшего разряда, необходимо при определении каждой из цифр двоичного кода сложить по (mod 2) цифры циклического кода, включая рассматриваемый разряд циклического кода.

50

Сформулированное выше правило можно выразить в аналитическом виде:

An =an;

An−1 =an +an−1(mod2);

An−2 =an +an−1 +an−2 (mod2);

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -----

Ak =an +an−1 +an−2 +K+ak (mod2).

Второе правило: При переводе числа циклического кода в двоичный, начиная с младшего разряда, цифра младшего (первого) разряда двоичного кода определяется как сумма по (mod 2) цифр всех разрядов циклического кода; цифра второго разряда двоичного кода (со стороны младшего) определяется как сумма по (mod 2) цифр младшего разряда двоичного и циклического кодов; цифра третьего разряда двоичного кода определяется как сумма по (mod 2) цифр второго разряда двоичного и циклического кодов и т.д.

Аналитически это правило можно представить в виде:

= n

A1 ∑ak (mod 2);

k =1

A2 =a1 + A1(mod2);

A3 =a2 + A2 (mod2);

- - - - - - - - - - - - - - - --

Ak +1 = Ak +ak (mod2).

Правило перевода чисел из циклического кода в десятичный.

Перевод циклического кода (Nц) в десятичный (N10 ) может быть выполнен в

где n — количество разрядов.

При этом слагаемые старших разрядов и последующих нечетных единиц в циклическом коде будут иметь положительный знак, а слагаемые разрядов четных единиц — отрицательный знак.

Например:

51

3.6. Выбор оптимальной системы счисления.

Выбор оптимальной системы счисления может быть произведен на основании соотношения:

Kобор =b n q,

где Kобор — коэффициент сложности оборудования; n — число разрядов; q

— основание системы счисления; b — коэффициент пропорциональности.

Из соотношения для Kобор видно, что Kобор = f (n,q) , т.е. зависит от числа разрядов и основания используемой системы счисления. При этом, как видно из таблицы Ι, величины n и q носят противоречивый характер, т.е. чем больше основание системы счисления q , тем меньшее число разрядов потребуется для

представления одного и того же числа.

В любой системе счисления с основанием q максимальное значение n – раз-

рядного числа запишется как

Mmax =qn −1.

При qn >>1 можно принять Mmax =qn , откуда

n = ln Mmax ;

ln q

Kобор =b q ln Mmax .

ln q

Определим значение q , при котором коэффициент оборудования будет минимальным:

откуда

lnq =1 и q =e =2,71K.

Полученный результат указывает на то, что в соответствии с принятым критерием, наиболее близкой к оптимальной находятся двоичная и троичная системы счисления.

52

3.7. Представление информации в зависимости от статистических свойств сообщения.

Пусть имеется некоторый источник информации, с выхода которого поступают

команды A1 ÷A4 с вероятностями:

p(A1) =0,500; p(A2 ) =0,250; p(A3) = p(A4 ) =0,125.

Представление указанных команд для передачи, например, на объект управления в закодированном виде, должно быть выполнено с учетом вероятностей их формирования.

Очевидно, что при кодировании необходимо, чтобы: а) код был наиболее кратким; б) кодовые комбинации были наиболее короткими для наиболее частых команд; в) код должен обеспечивать разделение команд.

Если команды закодированы в виде A1 →0; A2 →1; A3 →10; A4 →11, то

разделить их при последовательной и непрерывной передаче двоичных символов нельзя.

Правила представления информации посредством двоичных символов, удовлетворяющие всем перечисленным выше требованиям, были сформулированы Шенноном и Фано, в связи с чем образованный при этом код был назван статистическим кодом Шеннона–Фано.

Любой код, используемый для передачи команд, подобно сообщениям, может быть оценен его экономичностью посредством коэффициента сжатия:

а также избыточностью кода, служащей мерой числа излишних символов (разрядов), используемых для представления команд:

где H0 (k)— энтропия источника при равновероятном и независимом распре-

делении команд; Hr (k)— энтропия источника в общем случае при неравновероятном и зависимом распределении команд; m0k — число двоичных знаков,

используемых для передачи команд с энтропией H0 (k), а mrk — с энтропией

Hr (k).

Для самого экономичного кода

53