Методические указания

8.3. Передача непрерывных сигналов с дискретизацией во временном представлении.

Чаще всего информация, предназначенная для передачи или ввода в

ЦВМ, представляет собой непрерывно изменяющиеся физические величины, как, например, изменение температуры, давления, скорости, звука и т.п. Различного рода датчики, измеряющие эти величины, чаще всего выдают их в виде пропорционального изменения непрерывных электрических сигналов постоянного или переменного тока. Для обработки информации в ЦВМ или для передачи по дискретному каналу входные непрерывные величины необходимо представить в виде дискретных, по которым возможно восстановление первоначального сигнала, была обоснована В.А.Котельниковым.

Функции с непериодическим характером изменения могут быть представлены в виде бесконечно большого количества синусоидальных колебаний с соответствующими амплитудами и фазовыми сдвигами (интеграл Фурье). Иными словами, спектр непериодического сигнала в общем случае содержит все без исключения частоты от 0

до ∞ . Однако на практике используются функции с ограниченным спектром и временем. Функции же с ограниченным спектром и временем определяются вполне определенным конечным числом своих значений (ряд Фурье). Отсюда следует, что любая непрерывная функция с ограниченным спектром и временем может быть заменена вполне определенной последовательностью дискретных значений.

Отсюда также следует, что для построения непрерывной функции,

заданной спектром частот от 0 до ∞ необходимо знать все ее точки. Непрерывная функция с ограниченным спектром на конечном интервале времени может быть построена лишь по конечному числу дискретных значений, отстоящих друг от друга на вполне определенном расстоянии.

В.А.Котельников показал, то если функция f ()t не содержит частот выше Fщ, то она может быть определена совокупностью ординат,

функция с указанным спектром частот рассматривается на некотором интервале времени T (рис.5.8а), то число дискретных ординат, определяющих функцию, будет:

L = Tt =2TF.

117

Доказательство теоремы Котельникова состоит в разложении функ-

−∞

Для функции с ограниченным спектром вместо 8.1 запишем:

рье по частотам следующим образом:

Коэффициенты ряда Фурье определяются по обычной формуле:

Подставляя 8.4 в 8.3 получим:

118

или, изменяя порядок действий:

откуда после интегрирования находим:

Возьмем интеграл в равенстве 8.6

119

Сопоставим выражения 8.3 и 8.5. Приведем выражение под интегралом равенства 8.3 к выражению под интегралом равенства 8.5.

Подставим 8.8 в 8.7 и, изменяя знаки под знаком суммы (так как суммирование производится по всем к от – ∞ до + ∞), получим:

120

Таким образом, функция с ограниченным спектром может быть представлена рядом 8.9, коэффициенты которого представляют собой отсчеты значений функции, взятые через интервалы времени:

В этом и состоит доказательство теоремы Котельникова. Особое свойство ряда 8.9 состоит в том, что значение суммы в моменты времени k t определяется только k -м слагаемым (рис.8.1б), так как все остальные слагаемые в этот же момент времени t равны нулю, т.е.

sinγ

γ

отметим, что функция равна 1 при γ =0 , а при возрастании эта

функция, колеблясь, убывает.

Рассмотрим смысл теоремы Котельникова графически. Пусть необходимо передать некоторую непрерывную функцию f ()t (рис.8.1а). Предположим, что спектр функции ограничен сверху частотой ωc . Производя отсчеты мгновенных значений функции в моменты вре-

мени t = π ; 2 t; 3 t; Kполучим картину, представленную на

ωc

рис.8.1б.

Каждая их функций вида sinγ γ представляет собой изменение во времени напряжения на выходе идеального фильтра, пропускающего

121

все частоты от 0 до граничной ωc при подаче на вход фильтра на-

пряжения в форме короткого импульса.

Таким образом, если сложить полученные составляющие суммы 8.9, то с ограничениями, о которых будет сказано ниже, вновь получим функцию f ()t .

Дело в том, что для точного воспроизведения функции в соответствии с разложением 8.9 необходимо знать значения ее ординат справа и слева от заданного интервала, так как они влияют на функцию, т.е. для точного воспроизведения функции необходимо рассмотреть функцию на бесконечном интервале. При рассмотрении функцией на ограниченном интервале и с ограниченным спектром теорема В.А.Котельникова дает приближенное решение. Характер ошибки в воспроизведении функции представлен на рис.5.8в.

Отметим дополнительно, что функция рассматривается в промежут-

ке времени T , то число ординат, которое потребуется, будет

L = Tt =2TFc,

где t = 21Fc – согласно теореме Котельникова, а Fc — макси-

мальная частота спектра передаваемого сигнала.

С другой стороны, при кодо-импульсной передаче (КИМ) время t

представляет собой период повторения, а 1t = FП частоту повто-

рения кодовых групп, вследствие чего FП ≥2Fc , т.е. частота по-

сылки амплитудных значений функции f ()t должна быть равна не

менее чем удвоенной частоте верхней границы спектра передаваемого сигнала.

Если частотный спектр функции занимает полосу частот от F1 до F2 , что в соответствии с теоремой В.А. Котельникова будут иметь

место соотношения:

t′= 2(F21−F1 ); L′=2(F2 −F1 )T.

Таким образом, теорема Котельникова указывает технический способ передачи функции f ()t с ограниченным спектром и восстановление ее на приемном конце. Этот способ сводится к следующему:

122

1.Берутся отсчеты f (k t)функции f ()t в моменты времени k t .

2.Полученные значения чисел передаются по системе связи любым способом (например, посредством двоичного кода).

3.В месте восстановления сигнала должны быть получены короткие импульсы соответствующей высоты.

4.Импульсы подаются на фильтр с верхней границей пропускания частот ωc , на выходе которого получим исходную функцию f ()t .

Вкачестве общего вывода можно отметить, что передача как непрерывных, так и дискретных сообщений (функций) сводится в конечном счете к передаче последовательности дискретных чисел.

8.4. Передача непрерывных сигналов с дискретизацией

вчастотном представлении.

Впредыдущем случае спектр функции был ограничен по частоте, т.е. f ()t =0 , если −ω c >ω >ωc . Теперь в качестве исходной

−∞

Рассмотрим спектральное выражение функции f ()t для данного случая. Тогда равенство 8.12 можно записать

T1

Функцию f ()t можно разложить в ряд Фурье на интервале от T1 до

T2 :

123

причем *) — это равенство 8.13 при

ски функция ограничена и по частоте.

Функция f ()t полностью определяется при ее разложении в ряд

124

определяется последовательностью ее значений в точках, отстоящих

1

друг от друга на расстоянии T2 −T1 (Гц).

Так как

то S(kω) как комплексное число может быть определено двумя значениями: вещественной и мнимой частью, а следовательно, для определения самой функции f ()t на интервале T2 −T1 потребуется L =2k =2FcT чисел.

Таким образом, функция с ограниченным спектром Fc и конечной длительностью T определяется L =2FcT числами независимо от

того, будут ли этими числами мгновенные значения функции, отсчитанные через t или спектральные коэффициенты разложения в ряд Фурье 8.16. По аналогии с дискретным представлением непрерывной функции во временном изображении выведем аналитическое

выражение для спектральной функции S(ω) , заданной ее значениями в точках отсчета.

Выражение спектральной плотности S(ω)для функции f ()t ограниченной на интервале от T1 до T2 имеет вид 8.13. Сама же функ-

ция может быть представлена в виде разложения в ряд Фурье в комплексной форме 8.14.

Обозначим

Подставим 8.14 и 8.18 в 8.13 :

125