Методические указания

σп = D.

Так как среднее значение флюктуационных помех равна нулю, то

где

h2 (t)= lim 1 T∫h2 (t)dt.

T →∞T 0

Д. Функция корреляции и энергетический спектр помех.

При изучении случайных процессов, представляемых как полезными сигналами, так и в виде помех, широко используется функция корреляции, которая характеризует степень статистической взаимосвязи между отдельными отсчетами одного и того же сигнала, различным полезных сигналов или полезных сигналов и помех.

Случайные процессы обладают тем свойством, что значения процесса в один и тот же момент времени влияют на значения этого же или некоторого другого процесса и другие, соседние моменты времени. Это означает, что между значениями, например, одного и того же процесса в соседние моменты времени существует взаимная связь и корреляция. Указанная взаимосвязь зависит от интервала времени τ между рассматриваемыми значениями случайного процесса. При увеличении τ взаимосвязь или корреляция уменьшается.

Аналитически взаимосвязь между отдельными значениями одного и того же случайного процесса выражается посредством функции кор-

реляции R(τ), представляющей собой среднее значение (по всем рассматриваемым моментам времени) произведения S()t на его ко-

При исследовании взаимосвязи между отдельными элементами одного и того же случайного процесса функцию R(τ)называют функ-

цией автокорреляции.

Допустим, что в качестве случайного процесса рассматривается медленно изменяющаяся флюктуационная помеха, характер которой представлен на рис.9.8.

При τ =0 функция автокорреляции будет иметь значение

147

R(0)=h(t)h(t)=h2 (t),

которое представляет собой рассмотренное ранее математическое ожидание квадрата случайного мгновенного значения напряжения помехи h , соответствующее средней мощности помех, выделяемой на резисторе с единичным сопротивлением.

При интервалах корреляции τ1 , τ2 и т.д. функция корреляции будет

иметь соответствующие выражения:

R(τ1 )=h(t0 )h(t0 +τ1 );

LLLLLLLLLL

R(τi )=h(t0 )h(t0 +τi );

LLLLLLLLLL

R(τk )=h(t0 )h(t0 +τk ).

По мере увеличения τ взаимосвязь ослабевает, т.е. разброс значения h(t +τ) относительно h()t возрастает и при τ →∞ значения h()t

и h(t +τ∞)становятся некоррелированными. Характер кривой функ-

ции корреляции случайного процесса представлен на рис.9.9.

Если процесс имеет постоянную составляющую, то при τ →∞ функции корреляции, уменьшаясь, будет стремиться не к нулю, а к значению мощности постоянной составляющей процесса, т.е.:

R(∞)=[h(t)]2 = M 2(h).

Измерение функции корреляции производится посредством прибо- ров–корреляторов, основными узлами которых являются схема задержки, умножитель, интегратор и регистрирующее устройство

(рис.9.10).

Взаимосвязь между двумя случайными процессами, представленными сигналами S()t и h()t можно выразить посредством функции взаимной корреляции:

Важным свойством функции корреляции является ее однозначная связь с частотным спектром мощности данного случайного процесса.

Для помех принято рассматривать их энергетический спектр F(ω), т.е. распределение энергии по частоте. Так, например, произведение

148

F(ω) dω представляет собой энергию помех в бесконечно узкой

полосе частот dω. Для стационарного процесса энергетический спектр одинаков для всех реализаций. Соотношение между R(τ) и

F(ω) аналогично соотношению между длительностью импульса и его спектром, т.е. чем «шире» спектр случайного процесса, тем «уже» корреляционная функция. Функции R(τ) и F(ω) связаны между собой преобразованием Фурье:

−∞ −∞

При проектировании ВУ необходимо учитывать как физические, так и статистические характеристики полезных сигналов и помех, а также самих элементов и узлов ВУ, являющихся каналами передачи информации. Математическое описание основных свойств полезных сигналов и помех, а также самих каналов дает возможность научно обоснованно решать задачу согласования сигналов и каналов с обеспечением требуемых показателей информационной надежности, быстродействия, точности и экономичности с точки зрения затрат времени, полосы частот, потребляемой мощности, количества оборудования и стоимости.

9.3. Выделение полезной информации посредством корректирующих кодов.

1. Основные параметры корректирующих кодов.

Избыточность кода выражается как

где N =2n – общее количество кодовых комбинаций n - элементного кода; S – число разрешенных кодовых комбинаций, т.е. используемых для представления полезной информации.

Коэффициент обнаружения или исправления ошибок:

149

где L — количество искаженных кодовых комбинаций с обнаруженными или исправленными ошибками; M — количество искаженных комбинаций, ошибки в которых не обнаруживаются и не исправляются; M0 — общее количество искаженных кодовых ком-

бинаций, т.е. с обнаружением и без обнаружения ошибок.

При передаче достаточно большого числа кодовых комбинаций F можно считать, что количество комбинаций с обнаружением ошибок L и общее количество искаженных комбинаций M0 соответствен-

но равны:

L = F Pоо; M0 = F Qk ,

где Pоо — вероятность появления обнаруживаемой ошибки; Qk — вероятность искажения n -элементной комбинации, откуда

Kобн = PQоо k

Кодовое расстояние d определяет то минимальное число элементов, которыми одна кодовая комбинация отличается от другой. При d =1 все n элементов кода используются как информационные. При d =2 обнаруживается одиночная ошибка; при d =3 обнаруживается двойная ошибка и исправляется одиночная. В общем случае связь между кодовым расстоянием d и числом исправляемых

ошибок (элементов) t определяется соотношением:

d ≥2t +1.

Число обнаруживаемых ошибок σ =2t , т.е. в два раза больше исправляемых, откуда d ≥σ +1.

Свойства корректирующего кода проиллюстрируем на простейшем примере.

Пример 9.1. Пусть число элементов в каждой кодовой комбинации n =3. Тогда число различимых кодовых комбинаций

N =2n =23 =8, т.е.: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.

При использовании всех кодовых комбинаций, как разрешенных d =1. При d =2 разрешенными являются те кодовые комбинации, которые отличаются двумя элементами, т.е.

000, 011, 101, 110 (9.3)

150

В этом случае оставшиеся кодовые комбинации будут запрещенными. Такой код позволяет обнаруживать одиночную ошибку, так как любая ошибка в разрешенной комбинации переводит ее в запрещенную. Кодовая последовательность (9.3) может быть получена путем введения избыточных элементов в двузначном двоичном коде: 00, 01, 10, 11, если приписать справа единицы, сохранив их четными в кодовой комбинации.

При d =3 из N =8 всего две комбинации отличаются тремя элементами: 000, 111. Рассмотренный код обнаруживает двойную ошибку и исправляет одиночную.

2. Код с четным числом единиц.

Этот код образуется за счет добавления к кодовой комбинации еще одного элемента (1 или 0) так, чтобы в кодовой комбинации из (n +1) элементов число единиц было четным. Код используется в ЦВМ для обнаружения нечетного числа ошибочных элементов.

Коэффициент избыточности кода:

ϕk = nn+1 = nnk ,

где nk =n +1.

Вероятность r -кратной ошибки в кодовой комбинации, состоящей из n элементов, в соответствии с биномиальным законом распределения, равна:

где qэ – вероятность искажения одного элемента кода.

Вероятность правильного приема кодовой комбинации:

Pпп = Pn =(1−qэ)n

где P – вероятность неискаженного элемента кода. Вероятность обнаружения одиночной, тройной и т.д. ошибок будет равна сумме вероятностей этих ошибок:

Pоо =Cn1 q1э pn−1 +Cn3 qэ3 pn−3 +Cn5 qэ5 pn−5 +K

Пренебрегая малыми величинами вероятностей появления ошибок, начиная с тройной, получим:

Pоо =Cn1 q1э pn−1.

Вероятность всех ошибок, как обнаруживаемых, так и необнаруживаемых, равна:

151

Qk =1− pn.

Коэффициент обнаружения ошибок этого кода:

Пример 9.2. Пусть необходимо хранить в ЗУ 32 пятиразрядных числа (N =25 =32), тогда простейший код, обнаруживающий одиноч-

ную, тройную и пятерную ошибки, будет состоять из 6 элементов. (см. табл.9.1).

Коэффициент обнаружения ошибок этого кода:

= C1 q1 p5

Kобн 6 − э 6 .

1 p

Коэффициент избыточности кода:

ϕk = log 26 =1,2. log 25

3. Равновесный код.

Равновесный код образуется за счет использования постоянного соотношения «1» и «0» в каждом из кодовых эквивалентов. Примером равновесного кода может быть семиэлементный код с соотношением

«1» и «0» равным 3/4, т.е. код «3» из «7» (см. табл.9.2).

152

Пренебрегая малой вероятностью искажения двух «1» и двух «0» и более, выразим вероятность возникновения необнаруживаемой ошибки:

Вероятность искажения 7-элементной кодовой комбинации (n=7)

будет:

Qk =1− pn =1− p7.

На основании полученных выражений можно определить вероятность обнаруживаемой ошибки:

Pоо =Qk −Qно =1− p7 −Qно.

Коэффициент обнаружения в этом случае:

Равновесный код используется в ЦВМ при передаче информации между блоками контроля арифметических операций. Так, например, код 2/3 был использован в ЦВМ IBM – 7070, а код 2/5 — в ЦВМ

IBM – 650.

4. Корреляционный код.

Этот код образуется за счет того, что каждый элемент первичного кода (1 или 0) представлен двумя цифрами 1 и 0, причем единице первичного кода соответствует последовательность 10, а нулю 01 (либо наоборот, см. табл.9.3).

Таблица 9.3

Корреляционный код обеспечивает обнаружение ошибок не только за счет введения избыточности, но и за счет определенной зависимости между элементами кода. Высокая помехозащищенность такого

154

кода обусловлена тем, что появление необнаруживаемой ошибки возможно лишь, когда оба элемента корреляционного кода меняют знак на обратный.

Для этого случая:

Qно =qэ2.

Коэффициент обнаружения ошибки корреляционного кода:

Kобн =1− Qноn .

1− p

Если n =10 и qэ =10−3 , то избыточность корреляционного кода:

ϕk = log 22nn =2. log 2

Корреляционный код может быть использован в ЦВМ при хранении информации, когда требуется высокая степень достоверности.

5. Инверсный код.

Инверсный код (код с повторениями) образуется так, что при четном числе «1» в кодовой комбинации повторная кодовая комбинация принимается в позитиве, а при нечетном числе «1» — в негативе, т.е. в инверсном виде (см. табл.9.4).

Таблица 9.4

В обоих случаях вначале производится суммирование «1», а затем поэлементное сравнение. Наличие несовпадения в первом случае и совпадения во втором случае соответствующих элементов указывает на ошибку, в результате чего вся кодовая комбинация бракуется. Коэффициент избыточности кода равен 2.

Инверсный код обеспечивает коэффициент обнаружения ошибок близкий к 1. Появление необнаруживаемой ошибки возможно при одновременном искажении двух элементов в первичном коде и в повторяемом, что маловероятно.

Вероятность такого искажения может быть определена приближенно в соответствии с выражением:

155

Qно ≈Cn2 qэ4.

Для n =5 и qэ =10−3 получим:

Qно =C52 qэ4 = 25!3! ! qэ4 =10 10−12;

Kобн =1−10 qэ4 ≈1.

1− p5

6. Циклический код.

Циклические коды, называемые также полиномиальными, нашли применение в ЦВМ при хранении информации на магнитных лентах, барабанах и дисках.

Название циклического кода связано с его основным свойством, которое состоит в том, что если кодовая комбинация принадлежит циклическому коду, то и кодовая комбинация, полученная циклическим сдвигом элементов на один разряд, также принадлежит этому коду.

В основе построения циклического кода лежат следующие предпосылки:

1. Кодовые комбинации представляются полиномом вида:

G(x)=am−1 xm−1 +am−2 xm−2 +K+a1 x1 +a0.

Вэтом случае x — есть основание кода; a — значение цифры данной системы счисления; EMBED Equation.3 m

—количество двоичных цифр (элементов) в сообщении.

Вобщем случае x >a и amax = x −1. В двоичном коде

x =2, a =0 или a =1.

Например, двоичное число 1010011 может быть записано в форме полинома:

G(x)=1 x6 +0 x5 +1 x4 +0 x3 +0 x2 +1 x1 +1 x0.

Или с учетом нулевых коэффициентов:

G(x)= x6 +x4 +x +1=1010011.

Над полиномами можно выполнять обычные алгебраические операции, но с учетом того, что сложение производится по модулю 2.

2.Каждая кодовая комбинация первичного m – элементного кода, представленная в виде полинома G(x)степени m−1

156