Методические указания

Взаимосвязь между интегралом Фурье и рядом Фурье для рассмотренной теоремы в частотном представлении состоит в том, что

функция f ()t может быть представлена либо в виде интеграла Фурье (8.11), либо в виде ряда Фурье (8.17).

Выражение в виде интеграла Фурье определяет функцию f ()t для любых значений t . Выражение в виде ряда Фурье определяет функцию f ()t только в интервале от T1 до T2 через значения ее спектральной функции в точках отсчета на оси частот, отстоящих друг от

1

друга на расстоянии T2 −T1 .

Сопоставим результаты дискретизации непрерывной функции во временном и частотном представлении соответственно:

Во временном представлении элементом разложения является единичный импульс, из которого взят отрезок, ограниченный по частоте, а в частотном — элементом разложения является синусоида, из которой взят ограниченный отрезок во времени.

Во временном представлении суммирование производится по элементам, равноотстоящим во времени, а в частотном — суммирование производится по элементам, равноотстоящим по частоте. Таким образом, во временном представлении элементы ограничены по частоте, а суммирование по времени.

В частотном же представлении элементы ограничены во времени, а суммирование по частоте.

Функция с ограниченным спектром F и временем T определяется 2 FT числами, независимо от того, будут ли эти числа определены как мгновенные значения функции, отсчитанные через t , или как спектральные коэффициенты разложения в ряд Фурье, отстоя-

1

щие друг от друга на расстоянии T2 −T1 (Гц).

Пример 8.1. Пусть на вход канала передачи информации поступает сообщение Y .

127

Определить количество информации, содержащееся в сообщении, при недостоверном приеме из-за воздействия помех.

Пояснения.

а) При отсутствии помех, при приеме сообщения Y , неопределенность полностью снимается и количество получаемой информации

I(X ,Y )равно энтропии источника сообщений, то есть:

I(X ,Y )= H(X ).

При достоверном приеме имеется однозначное соответствие между принятыми и переданными символами, т.е.

б) При наличии помех при приеме сообщения Y неопределенность полностью не снимается и количество получаемой информации

I(X ,Y )будет равно, в соответствии с выражением разности между

учитывая известные соотношения для вероятности совместного появления двух зависимых событий

окончательно запишем:

128

I(X ,Y )=−∑m p(xi )log p(xi )+

i =1

Пример 8.2. Пусть имеется дискретный источник X с алфавитом из m символов, вероятности которых равны, т.е.

p(x1 )= p(x2 )=K= p(xi )=K= p(xm )= m1 .

Примем, что действие помех столь велико, что любой из принимаемых символов может соответствовать любому передаваемому. Определить количество информации при приеме.

Пояснения. Обозначим вероятность правильного приема через p , а вероятность ошибочного приема через q .

Тогда

так как под действием помех возможен переход любого символа xi

передаваемого сообщения X в любой из m−1 символов yj при-

нимаемого сообщения Y . В соответствии с известным выражением найдем условную вероятность того, что при передаче символа xi

129

Подставляя это выражение в соотношение для I(X ,Y )получим:

I=logm + plog p +qlog mq−1.

Вчастном случае для бинарных сообщений m =2 и p +q =1. То-

гда

I =log2 + plog p +(1− p)log(1− p).

При p =0,5 и использовании двоичных логарифмов I =0 , т.е. неопределенность приема сообщения Y по отношению к передаваемому сообщению X не изменяется.

8.5. Информационный критерий оценки помехоустойчивости передачи информации ( β – критерий).

Примем, что в качестве канала передачи информации могут быть коммутирующее устройство (КУ), аналого-цифровой (АЦП) и циф- ро-аналоговый (ЦАП) преобразователи сигналов, запоминающее устройство (ЗУ), арифметическое устройство (АУ) и т.п. Независимо от этого в соответствии с информационным критерием помехоустойчивость «канала» оценивается по соответствию выходных данных входным без учета характера и причин возникновения помех между точками ввода и вывода информации. При этом действие помех и полезных сигналов оценивается по количеству информации, содержащемуся в них и выраженному посредством энтропии.

Потеря информации в канале в этом случае может быть выражена как

I(X ,Y )k = H(X )−H (X Y ),

где H(X )– энтропия полезных сигналов; H (X Y – энтропия по-

мех.

Нормируя приведенное выше выражение, помехоустойчивость канала можно выразить посредством коэффициента информационной надежности в виде:

В случае равновероятного распределения энтропия входных (полезных) сигналов определяется как:

130

где m — число различимых состояний входного сигнала, вероят-

ность появления каждого из которых: p(xi )= m1 ; δx – погреш-

ность сигнала, выраженная в процентах и соответствующая шагу квантования сигнала X .

В случае неравновероятного и независимого распределения состояний входных сигналов их энтропия будет:

H1(X )=−∑m p(xi )log p(xi )

i =1

при

m p(x )=1

∑ i .

i =1

Условная энтропия помех, действующих в канале, имеет следующее выражение:

H (Y X )=0.

131

При наличии помех, действие которых столь велико, что корреляция между входом и выходом отсутствует, любому входному сигналу xi

может соответствовать любой выходной сигнал yj . В этом случае

отсутствии корреляции между входом и выходом энтропии помех равна энтропии полезных сигналов.

Таким образом, пределы изменения коэффициента информационной надежности β в зависимости от интенсивности помех можно выразить следующим образом:

Если в результате проверки канала на помехоустойчивость коэффициента β окажется меньше заданного, то потребуется исследовать

как характер помех, так и причины их возникновения. При этом в первую очередь необходимо проверить соотношение полезных сигналов и помех.

Ниже рассматривается методика практического использования информационного критерия при обработке результатов наблюдения. Пример 8.3. Пусть при испытании на помехоустойчивость АЦП число различимых уровней входного (кодируемого) сигнала m =10, причем все сигналы равновероятны. Оценить информационную надежность АЦП.

Решение.

1.На основании опытных данных, полученных в результате многократного кодирования каждого из уровней входного сигнала, про-

132

ней. Допустим, что такие условные вероятности определены и представлены в табл.8.1.

2.Производится расчет вероятностей совместного появления сигналов xi на входе и кодовых эквивалентов yj на выходе в соот-

ветствии с выражением (2.3), для которых p(xi )= m1 =0,1. Ре-

зультаты расчета представлены в табл.8.2.

3.На основании данных, приведенных в табл.8.2 и 8.3 определяется энтропия помех в соответствии с выражением (2.5). Результаты расчета представлены в табл.8.3.

4.Определяется энтропия кодированных сигналов в соответствии с выражением: H0(X )=log10 =3,32.

5.Рассчитывается коэффициент информационной надежности в соответствии с выражением

β =1−03,604,32 =0,82 (82%).

При большом числе разрядов АЦП число различимых уровней входных сигналов велико и при определении информационной надежности АЦП нет необходимости кодировать каждый из них.

Так, при числе разрядов n =10 число различимых уровней с учетом нулевого m =210 =1024. В этом случае для оценки информационной надежности АЦП выбираются k контрольных точек, для которых и определяются условные вероятности. При этом полагается, что значения сигналов примыкающих областей имеют те же условные вероятности, что и в контрольных точках.

Таблица 8.1

133

134

9.Обработка информации.

9.1.Исходные положения.

Обработка информации — реализация соответствующих алгоритмов обработки измерительной и вычислительной информации при требуемых показателях точности, быстродействия и достоверности. Техническими средствами обработки информации являются СВТ (аналоговые, цифровые и гибридные).

Основными видами обработки информации являются:

•вычислительная обработка, т.е. выполнение математических операций над входными величинами в соответствии с заданным алгоритмом;

•статистическая обработка, т.е. определение таких показателей как дисперсия, математическое ожидание, функция корреляции, энтропия и т.п.;

•выделение полезной информации, т.е. обеспечение требуемой достоверности протекания информационных процессов;

•адаптация, т.е. сжатие информации с целью повышения скорости обработки информации без потери точности и достоверности.

Любой из рассмотренных ранее информационных процессов сопровождается воздействием различного рода помех, снижающих достоверность результата. В связи с этим, прежде всего, рассмотрим специфику помех и некоторые способы выделения полезной информации.

Выделение информации можно определить как процесс, обеспечивающий формирование, передачу, преобразование, хранение, распределение и переработку информации в ВУ с заданной информационной надежностью (помехоустойчивостью).

Проблема выделения полезной информации на фоне помех возникает в аналоговых, цифровых и в цифро-аналоговых ВУ. Для каждого из этих ВУ процесс выделения информации имеет свою специфику. Современные автоматизированные системы управления (АСУ) производственными процессами и объектами немыслимы без использования электронных цифровых вычислительных машин (ЦВМ) и цифро-аналоговых вычислительных устройств (ЦАВУ).

Особенно возросла роль ЦВМ с связи с созданием отраслевых АСУ (например, АСУ железнодорожного транспорта, АСУ воздушного транспорта, сельского хозяйства и т.п.), в которых может быть использовано до нескольких ЦВМ, разнесенных на значительное расстояние.

136