A.M. Kotochigov Metodichka 1 sem Matan

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет ½ЛЭТИ

Ю. С. БЕЛОВ, А. В. ЖЕЛЕЗНЯК, А. М. КОТОЧИГОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Санкт-Петербург 2009

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет ½ЛЭТИ

Ю. С. БЕЛОВ, А. В. ЖЕЛЕЗНЯК, А. М. КОТОЧИГОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Учебное пособие

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ ½ЛЭТИ 2009

ÓÄÊ 517.2(07) ÁÁÊ Â16ÿ7 Á 43

Белов Ю. С., Железняк А. В., Коточигов А. М.

Б 43 Основы математического анализа: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ ”ËÝÒÈ“, 2009. 64 ñ.

ISBN 5-7629-0960-03

Содержит весь необходимый теоретический материал по темам ”Ïðå- äåëû“, ”Непрерывность“, ”Производная“, а также примеры и упражнения для самоподготовки.

Предназначено для студентов I курса ФКТИ как основа курса математического анализа, изучаемого в I семестре.

ÓÄÊ 517.2(07) ÁÁÊ Â16ÿ7

Рецензенты: кафедра математического анализа СПбГУ; доц. А. А. Лодкин (СПбГУ).

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Введение

Математический анализ создает аппарат, позволяющий интерпретировать сложные модели как результат предельного перехода в более простых моделях. Исторически первый пример такого подхода к практическим задачам вычисление площади круга. Определение площади важная задача земледелия и строительства. Формулы для вычисления площади прямоугольников и треугольников известны с глубокой древности. Для круга нет очевидных формул, но понимание связи площадей для подобных фигур заставляет вычислить коэффициент, связывающий квадрат радиуса и площадь, ориентируясь на аналогичное соотношение для вписанных многоугольников. Это и есть предельный переход. Историческое название

”анализ“ не полностью отражает ситуацию. В содержательных случаях взаимодействуют два процесса: анализ и синтез. Анализ это разделение

неудобной фигуры круга на удобные фигуры треугольники, что дает приближенное значение площади. Устранение неточности синтез, т. е. вы- числение предела суммы площадей всех треугольников, когда размер каждого треугольника становится меньше и меньше. Первое (около 500 г. н. э.) качественное приближенное значение числа π = 355113 сохранилось в тру- дах китайских математиков. Заметим, что для дробей с таким маленьким знаменателем точность приближения максимальная, что свидетельствует о тщательности подбора. Полученное приближение позволяло решать практические задачи, и мысль об обосновании, предельном переходе и точности просто не возникала. Первая точная формула для числа π принадлежит

Архимеду. Он вычислял π как предел периметров, вписанных в единич-

ную окружность правильных многоугольников. Никаких критериев того, что такое предел, не предлагалось. Эта формула будет описана в примере 1.6. Трудность практического использования такой формулы хорошо видна, если при вычислении контролировать число десятичных знаков. Легко видеть, как быстро теряется точность вычислений, и алгоритм начинает работать вхолостую, уводя от истинного значения предела. Такое положение дел приемлемо, когда вычисление предела является уникальным событием и результат вычислений проходит длительную практическую проверку. Другие нетривиальные и активно востребованные постоянные, которые можно определить исключительно как предел, долго не появлялись. Активное, хотя

и подспудное, внедрение понятия ”предела“ произошло во времена Ньюто- на (XVII-й век) благодаря широкому использованию понятия ”производной“ для решения задач механики и геометрии. Подспудность проявлялась в том,

что вычисление производной оставалось

3

которого доступен только людям с хорошей интуицией и большим опытом вычислений. Рост потребности в применении вычислений, опирающихся на

понятие ”предела“, привел к осознанию необходимости строгого определения этого понятия. Происходило это постепенно. Современные формулиров-

ки оформились к середине XIX-го века. Они стимулировали бурное развитие анализа и других математических дисциплин. Какие-то части математики превратились из искусства в ремесло, которому можно обучить каждого. Пособие не ставит своей целью научить решать стереотипные задачи. Цель авторов пояснить те идеи, которые заложены в основных формулировках и вытекающих из них следствиях. Чтобы эти знания активно работали, необходимо хоть как-то представлять алгоритмы доказательств. В пособии представлены наиболее важные и характерные доказательства.

Структура вычислительных машин, цифровые технологии создают ил-

люзию того, что ”нужна“ только дискретная математика (алгебраические структуры). Тупик, к которому ведет эта дорога, известен. Древнегреческая

математика оказалась бессильной перед простыми по нынешним меркам парадоксами Зенона. Самый популярный из них утверждал, что Ахиллес не может догнать черепаху, так как пока он преодолевает половину расстояния между ними, черепаха успеет пройти какое-то расстояние, и Ахиллесу потребуется время для преодоления половины нового расстояния, и т. д. Рассматриваемые как философские проблемы, парадоксы не допускали разумных решений. С точки зрения современной математики, решение поставленных вопросов требовало введения новых аксиом, формирующих понятие

”предела“.

В настоящем пособии подробно рассмотрены возможности работы с числовыми последовательностями. Такие навыки очень важны для современных цифровых технологий. Хотя все объекты здесь конечны, но число элементов может быть так велико, что реальный контроль над ситуацией возможен только на уровне предельных переходов.

По ходу изложения в тексте приводятся пояснения новых символов и терминов. Для удобства чтения используется специальный символ , обо-

значающий конец доказательства.

1Пределы

1.1Предел последовательности

1

Интуитивно ясно, что последовательность xk = k, k = 1, 2, . . . , сходится к нулю. Но что можно сказать о последовательности xk = sin k? Принимая то или иное определение, необходимо понимать, что оно обязано

4

подтверждать интуицию в очевидных примерах, но самое главное должно позволять анализировать любую последовательность. По этой причине определение предела не может быть простым. Поэтому оно появилось много позже того времени, когда интуитивная работа с пределами получила широкое распространение.

Определение 1.1 (предела числовой последовательности). Число a называется пределом последовательности xn (èëè xn сходится к a), если для

любого положительного числа ε (греческая буква ”эпсилон“) существует натуральное число N такое, что для любого натурального числа n большего

N выполнено неравенство |xn − a| < ε.

Первым шагом в усвоении определения может стать очень приблизительная (эмоциональная) формулировка: элементы последовательности с

большими номерами находятся рядом с предельной точкой. Если думать о последовательности xk = k1 , то этого вполне достаточно. Но для после-

довательности xk = sin k словесная формулировка ничего не дает, так как нечего проверять. Здесь и надо осмысливать настоящее определение. Что значит близко? Что значит с большими номерами? Разобрав достаточное количество примеров, можно понять, что определение правильное.

Еще один помощник в запоминании определения его краткая запись. Математика все же требует формализации и, как следствие, стереотипных формулировок и терминов. Вот как выглядит принятая в математике краткая запись определения 1.1:

a = lim xn ε > 0 N n > N |xn − a| < ε.

n→∞

Эта строчка буквально повторяет определение и читается так: число a называется пределом последовательности xn при n, стремящемся к бесконеч- ности, тогда и только тогда, когда для любого положительного числа ε существует натуральное число N такое, что для любого натурального числа

n большего N выполнено неравенство |xn − a| < ε.

Использованные здесь символы общеприняты и имеют следующее происхождение:

(всякий) перевернутая первая буква английского ALL;

(существует) перевернутая первая буква английского EXIST.

Однако эти обсуждения не помогают ответить на вопрос о сходимости последовательности xk = sin k. К сожалению, такая ситуация типична. Прямая проверка определения возможна крайне редко. В большинстве случаев

5

вычисление предела использует не определение, а свойства пределов, позволяющие вычислить предел или хотя бы гарантировать его существование. Свойства эти очень просты, но в то же время эффективны.

До того как обсуждать эти свойства, рассмотрим простые примеры, которые показывают, к чему надо стремиться.

очевидная, но требует аккуратной работы с параметром.

Если |p| < 1, p = 1, то легко проверить определение сходимости.

Если p > 1, то последовательность ”слишком большая“. Далее будет показано, что сходящаяся последовательность ограничена, и это решает за-

дачу(предела не существует).

Åñëè p = −1 (xn = (−1)n), то последовательность ”неустойчивая“, просматриваются два кандидата на предел +1 и −1. Будет показано, что

предел у последовательности может быть только один. Из этого легко получить, что последовательность не имеет предела.

Если p < −1, то последовательность и ”неустойчивая“, и большая по модулю. Ясно, что это не укладывается в определение предела.

Пример 1.3 Рассмотрим вопрос о сходимости последовательности

ния от 1 похожи на последовательность из примера 1.1. Если доказать, что "похожие" последовательности сходятся или расходятся одновременно, то сходимость рассматриваемой последовательности будет установлена.

Разобьем последовательность на удобные для вычисления предела последо-

6

что предел суммы равен сумме пределов (см. теорему 1.3), и следовательно,

1.2 Основные теоремы о пределах последовательностей

Теорема 1.1 (об ограниченности сходящейся последовательности). Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказательство. Åñëè lim xn = a, то, полагая в определении ε = 1,

n→∞

найдем такое N, что n > N |xn − a| < 1. Следовательно,

min{x1, . . . , xN , a − 1} < xn < max{x1, . . . , xN , a + 1}.

Замечание 1.1 Из теоремы следует, что последовательность xn = pn

Полученное противоречие доказывает теорему. (об арифметических свойствах пределов). Пусть су-

Доказательство. Все утверждения теоремы доказываются по одной схеме. Ограничимся доказательством последнего из них. По теореме об ограниченности сходящейся последовательности существует постоянная M та-

êàÿ, ÷òî |xn| < M, |yn| < M. Покажем, что элементы последовательности

7

yn с большими номерами отделены от 0. Положим ε = |2b|, по определению

n > N, |xn − a| < ε1, |yn − b| < ε1.

Тогда

Замечание 1.2 Удобно запоминать эту теорему в краткой формулировке: предел суммы равен сумме пределов и т. д. Но при этом надо держать в уме оговорку: если пределы слагаемых существуют. Простые при-

меры показывают, что без этого теорема может быть неверна. Например, пусть zn = xnyn, xn = yn = (−1)n, тогда предел произведения существует

(zn = 1), но сомножители не имеют пределов.

Теорема 1.4 (о сохранении неравенств в предельных переходах). Пусть при всех n выполнены неравенства xn > yn и существуют пределы

lim xn = a è lim yn = b, тогда a > b.

n→∞ n→∞

Доказательство. Предположим, что это не так, т. е. a < b. Фиксируем ε = b −3 a, определение предела гарантирует существование N такого, что

Следовательно,

Это противоречит условиям.

Теорема 1.5 (о сжатой переменной). Пусть выполнены неравенства xn > zn > yn è

lim xn = lim yn = a,

n→∞ n→∞

тогда существует предел zn è lim zn = a.

n→∞

8

Доказательство. Простота доказательства соответствует очевидности утверждения. Проверяем определение. Фиксируем ε > 0, выберем N так,

÷òî n > N, |xn − a| < ε, |yn − a| < ε. Следовательно,

a − ε < yn 6 zn 6 xn < a + ε, ò. å. |zn − a| < ε.

Определение предела, как и все формальные определения, имеет жесткие границы использования. Важно понимать, когда и как можно модифи-

цировать определение, если эти границы нарушены, но шанс ”исправить“ определение остается. Обычно в таких случаях ограничиваются коммента-

рием: определяется аналогично. Надо уметь переводить эту фразу на формальный язык. Например, дадим определение того, что последовательность стремится к бесконечности:

lim xn = +∞ a, N n > N xn > a.

n→∞

Далее в подобных ситуациях мы будем, по возможности, говорить ”опреде- ляется аналогично“.

Основой доказательств более сложных свойств пределов явлется следющее утверждение.

Любая последовательность вложенных замкнутых промежутков имеет непустое пересечение или, в символьной записи,

[an, bn], n N, [an, bn] [an−1, bn−1] ∩n N[an, bn] 6= .

Здесь использованы символы: N множество натуральных чисел; пу-

стое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента. Замечание 1.3 Условие замкнутости промежутков существенно. Это

Рассмотрим следствие аксиомы достаточное условие сходимости. Теорема 1.6 (Вейерштрасса). Если последовательность возрастает

и ограничена, то она имеет предел, то есть

xn 6 xn+1, A n xn < A lim xn.

n→∞

Доказательство: 1. Схема построения кандидата на предел. Положим [a1, b1] = [x1, A], все элементы последовательности содержатся в этом

отрезке. Разделим отрезок пополам и обозначим [a2, b2] ту половину отрезка, которая содержит бесконечное число элементов последовательности.

9