A.M. Kotochigov Metodichka 1 sem Matan

Появление многочисленных обозначений для близких понятий оправдано тем, что они позволяют сокращать запись решения задач и освобождают решение от несущественных деталей. Это видно из решения приводимых далее примеров.

Пример 1.13 Предел отношения двух многочленов на бесконечно-

ñòè

Введенные обозначения и арифметические свойства пределов позволяют записать это очень коротко

Ответ полностью определяется соотношением степеней многочленов:

В последнем случае используется расширенное определение предела, при этом окончательный ответ требует уточнения знака бесконечности.

(предел отношения многочленов в конечной точке). Задача решается по похожей схеме, но критерии разветвлений решения меняются. Основная теорема алгебры гарантирует возможность следующих разложений для любых многочленов

Здесь показатели степени m, j могут принимать и нулевые значения (корня нет). Остается заметить, что при x → a возможна короткая запись этих равенств

P (x) = (x − a)m(s0 + o(1)), Q(x) = (x − a)j(t0 + o(1)).

20

Далее, как и в примере 1.13, получаем:

Расширение возможностей вычисления пределов требует расширения базы, к которой можно применять правила вычисления пределов. Эту базу составляют две группы пределов: замечательные пределы и асимптотиче- ские пределы. Обе группы имеют многочисленные и разнообразные применения.

Замечательные пределы

Название ”замечательные пределы“ вполне оправдано эти пределы позволят вычислить производные основных функций. Самый главный из

них второй, его можно рассматривать как эквивалентное определение числа e. Никакое другое число не обладает таким уникальным свойством.

Функция f(x) = ex так важна, что имеет персональное название

”показательная функция“. Конечно, функцию f(x) = 2x тоже называют показа-

тельной, но если термин показательная функция фигурирует без пояснений, то это функция f(x) = ex. Функция обратная к показательной выделе-

на более отчетливо, ее называют натуральным логарифмом и обозначают g(x) = ln x. Напомним, что функции f(x), g(y) называются обратными,

если f(g(y)) = y, g(f(x)) = x на естественной области определения.

Доказательства существования этих пределов здесь не приводятся. Отметим, что первый предел можно получить из геометрического определения

21

функции sin x. Второй предел требует больших дополнительных техниче-

ских конструкций, основанных на следующем способе определения показательной функции: ex = lim 1 + x n

n→∞ n

но найти в учебниках [1] или [6]. Два последних предела являются простыми следствиями второго, но чтобы получить их, требуется дополнительная информация о функциях, участвующих в этих пределах.

Будет показано, что во многих случаях функцию можно с большой точностью приблизить многочленом, и тогда все четыре предела станут оче- видными. Можно было бы принять эти приближения за определение соответствующих функций, но тогда придется доказывать привычные свойства функций исходя из новых определений.

Вторая группа пределов, важных для дальнейших рассмотрений.

Асимптотические пределы

Здесь R стандартное обозначение для множества вещественных чисел. Короткая запись этих пределов xa = o(ex), ln x = o(xa) ïðè x → ∞.

Для запоминания удобна словесная формулировка: показательная функция растет быстрее степенной, и степенная функция растет быстрее логарифмической функции.

ным образом определено целое число n = n(x) такое, что n 6 x < n + 1.

Воспользуемся монотонностью функций, составляющих предел, и получим неравенства

na 6 xa < (n + 1)a, e · en > ex > en.

Разделим одно неравенство на другое и получим

Заметим, что из условия x → +∞ следует, что n = n(x) → ∞, и применим

принцип сжатой переменной. По ранее доказанному соотношению пределы выражений, окаймляющих неравенство, равны 0.

22

2. Второе утверждение легко следует из теоремы о пределе сложной функции. Положим y = ln x и перепишем предел в новых обозначениях

lim y = 0. Здесь использовано то обстоятельство, что y → +∞ тогда и

y→∞ eay

только тогда, когда x → +∞, т. е. все свелось к пределу, полученному в п. 1.

Рассмотрим еще один простой, но очень эффективный прием вычисле-

равны, либо одновременно не существуют.

Короткая формулировка: при вычислении пределов произведений можно любой сомножитель заменить на эквивалентный.

Доказательство. Достаточно показать, что если существует один из

Рассмотренные свойства пределов и база основных пределов позволяют вычислить огромное число различных пределов.

Пример 1.15 (линейная замена простейший вариант применения теоремы о сложной функции):

Пример 1.16 (теорема о сложной функции иррациональности общего вида):

23

Заметим, что приемы решения здесь те же, что в примере с анализом отношения двух многочленов. Все решается отношением старших степеней, но следующий пример показывает, что в целом ситуация может быть существенно сложней.

Пример 1.17 (замену на эквивалентную можно производить только в произведении):

Если действовать как в предыдущем примере, то получится 0 в числителе и, следовательно, 0 в ответе, в то время как домножив числитель и знаменатель на сопряженную иррациональность, легко получить правильный ответ:

2x + 3x2 − (2x + x2)

lim = x→0 x3/2((2x + 3x2)1/2 + (2x + x2)1/2)

Пример 1.18 (прямое использование теоремы о замене на эквивалентную):

Пример 1.19 (тождественное преобразование и замена на эквивалентную):

Потенциал имеющихся средств все же ограничен, пока нет возможности анализировать разности бесконечно малых величин, которые не связаны какими-либо алгебраическими тождествами:

lim sin x − ln(1 + x).

x→0 x2

Решение таких примеров станет доступно, когда будут описаны возможности приближать функции многочленами, снимая тем самым проблему сравнения непохожих функций. Круг пределов, которые мы легко сможем вычислять, значительно расширится, но трудные задачи все равно останутся. Классическим примером такой ситуации является предел

lim tg sin x − sin tg x.

x→0 x7

24

Сложность состоит в том, что приближающие многочлены совпадают до седьмой степени, а получение приближений многочленами высоких степенейзадача технически трудная.

(использование асимптотических пределов):

Здесь, как и при вычислении предела отношения многочленов, надо выделить главные слагаемые в числителе и знаменателе, что легко сделать, используя таблицу асимптотических пределов. Ответ отличен от нуля или бесконечности в редких случаях, когда главные части одинаковые.

Как и для последовательностей, так и для функции возникает необхо-

димость расширить понятие ”предела“.

Предел на бесконечности:

→

2. Предел слева:

25

2Непрерывность

2.1Определение и комментарии

”непрерывность“, видимо, появилось раньше поня- тия ”число“, но необходимость и возможность как-то определять это понятие на математическом уровне возникла только в начале XIX-го века.

Функция непрерывна в точке, если имеет предел в этой точке и этот предел равен значению функции в этой точке:

lim f(x) = f(x0).

x→x0

Понятие ”непрерывность“ является естественным продолжением поня- тия ”предел“ и любое определение непрерывности будет в той или иной форме содержать в себе определение предела. Наша интуиция и привыч-

ки формируют идеалистическое представление о том, как и почему может нарушаться непрерывность. Первое, что представляется, это функции, у

которых в некоторой точке имеются несовпадающие пределы справа и слева, возможно бесконечные. Например, f(x) = x1 , f(x) = arctg x1 . Но "похожая"

функция f(x) = sin x1 демонстрирует значительно более сложное поведение. Легко видеть, что при стремлении к 0 ее предельные значения заполняют отрезок [−1, 1].

Однако определение функции настолько широкое, что допускает существование функций, разрывных в каждой точке. Это означает, что функция сильно колеблется в окрестности каждой точки. Конструкция такой функции удивительно проста. Положим f(x) = 1, если число рациональное, т. е. x = mn , n, m целые числа, и f(x) = 0 для всех остальных чисел (x иррациональное число). Для любого числа можно подобрать как рациональную так, и иррациональную последовательности, сходящиеся к нему, и, значит, функция не может иметь предела в этой точке. Легко переделать эту функцию, так что она станет непрерывной в одной единственной точке. Теорема об умножении бесконечно малой величины на ограниченную гарантирует непрерывность функции g(x) = xf(x) в единственной точке x = 0.

Примеры показывают, что требование непрерывности должно ограждать от патологических функций. Причем требовать непрерывности в одной точке явно недостаточно. Это приводит нас к следующему очевидному определению.

Определение 2.2 Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой его точке.

26

Прямая проверка определения по-прежнему остается технически трудной. Рассмотрим примеры с монотонными функциями, для которых проверка определения упрощается.

(проверка определения непрерывности):

1)функция f(x) = x2 непрерывна на отрезке 0 6 x 6 1: фиксируем

ε

εи положим δ = min 1, 3 , тогда при |x − x0| < δ справедлива требуемая оценка

|f(x0) − f(x)| < (x0 + δ)2 − x20 = 2δx0 + δ2 < 3δ = ε;

√

2)функция g(x) = x непрерывна на отрезке 0 6 x 6 1: фиксируем

εи положим δ = εx10/2, тогда при |x−x0| < δ справедлива требуемая оценка

Свойства пределов гарантируют непрерывность линейных комбинаций, произведений, отношений и суперпозиций непрерывных функций на их естественных областях определения. Непрерывность степенных, показательных и тригонометрических функций вытекает из замечательных пределов. Таким образом, возникает достаточно большой запас непрерывных функций. Эти функции принято называть элементарными функциями. Ограничиться этим простым классом функций невозможно, так как предельные переходы могут порождать функции, не входящие в этот класс функций.

Непрерывность функций нескольких переменных определяется точно так же, как для функций одной переменной.

2.2 Свойства непрерывных функций

Примеры показывают, что непрерывные функции можно поделить на

”простые“, для которых выбор δ не зависит от точки, и ”сложные“, для которых необходим ”индивидуальный“ выбор. Это разделение во многих вопросах играет важную роль и имеет специальное название.

27

Определение 2.3 Функция называется равномерно непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества и можно вы-

брать δ ïî ε так, что он подходит для всех точек множества, т. е.

ε > 0 δ > 0 x1, x2 |x1 − x2| < δ |f(x1) − f(x2)| < ε.

(о равномерной непрерывности). Если функция непрерывна в каждой точке замкнутого интервала, то она равномерно непрерывна в этом интервале.

В основе доказательства лежит следующее утверждение:

(об открытом покрытии). Если объединение некоторого множества открытых интервалов содержит в себе замкнутый отрезок, то из этого множества можно выбрать конечное подмножество открытых интервалов, объединение которых по-прежнему содержит этот замкнутый отрезок.

Короткая формулировка: из любого открытого покрытия замкнутого интервала можно выбрать конечное подпокрытие.

Доказательства этих утверждений их можно найти в книгах [1] и [2]. Теорема 2.3 (об ограниченности). Если функция f непрерывна на

замкнутом отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

Доказательство. Воспользуемся теоремой о равномерной непрерывности. Положим ε = 1, теорема гарантирует существование δ > 0 такого, что

èç |x1 − x2| < δ следует |f(x1) − f(x2)| < 1. Разобьем отрезок точками ak

на отрезки длины δ/2. Число таких точек не больше, чем M = 2(b − a).

δ

Фиксируем точку x0 [a, b]. Определим ее положение среди отрезков дроб- ления: am 6 x0 < am+1. Тогда, по неравенству треугольника,

|f(x0)| 6 |f(a)| + |f(x0) − f(a)| 6

6 |f(a)| + |f(x0) − f(am)| + . . . + |f(a1) − f(a)| < |f(a)| + m.

Следовательно, для любой точки отрезка x, |f(x)| < |f(a)| + M.

(о достижении наибольшего значения). Если функция f непрерывна на замкнутом отрезке [a, b], то она достигает своего наиболь-

шего значения, т. е.

x [a, b], x [a, b] f(x ) > f(x).

Доказательство. Предположим, что теорема не верна. Это означает, что существуют xk такие, что

lim f(xk) = M, íî x [a, b] f(x) < M.

k→∞

28

Воспользуемся теоремой об ограниченной последовательности и выберем из последовательности xk сходящуюся подпоследовательность tm,

lim tm = t0. Поскольку a 6 tm 6 b, òî è a 6 t0 6 b. По условию функция

m→∞

непрерывна в этой точке, т. е. lim f(tm) = f(t0), и, значит, f(t0) = M, ÷òî

m→∞

противоречит сделанному предположению.

Аналогично формулируется и доказывается теорема о наименьшем зна-

чении. В этих теоремах условие замкнутости очень существенно. Достаточ- но рассмотреть функцию f(x) = x1 на отрезке (0, 1] и функцию f(x) = x

на отрезке (0, 1).

Теорема 2.5 (о существовании корня). Если функция f непрерывна на замкнутом отрезке [a, b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то она имеет корень на этом отрезке.

Доказательство. Проведем построение, локализующее корень. Разделим отрезок пополам и обозначим через [a1, b1] ту из половин отрезка, на

концах которого функция принимает значения разных знаков. Такой выбор возможен всегда, кроме случая, когда средняя точка является корнем функции, но в этом случае теорема доказана. К отрезку [a1, b1] применимо то же рассуждение, и т. д. Возникающая последовательность отрезков по аксиоме вложенных промежутков имеет единственную общую точку x0. Âû- берем из последовательности точек an бесконечную подпоследовательность точек ank , в которых функция принимает значения одинаковых знаков. Для определенности будем считать, что f(ank ) > 0, тогда f(bnk ) < 0. Поскольку

lim ank = x0 è lim bnk = x0, то из непрерывности функции и теоремы о

k→∞ k→∞

сохранении неравенств в предельных переходах следует, что f(x0) > 0 è f(x0) 6 0. Значит, f(x0) = 0.

Процедуру, описанную в доказательстве, называют алгоритмом половинного деления. Алгоритм универсален и логичен, но из-за медленной сходимости практически не используется в приближенных вычислениях.

В приложениях используется модификация предыдущей теоремы. Теорема 2.6 (о промежуточном значении). Если функция f непре-

рывна на замкнутом отрезке [a, b] и принимает на концах отрезка значения A и B, то она принимает на [a, b] любые значения из интервала [A, B].

Доказательство. Если A = B, то теорема верна. В противном случае для любого C [A, B] можно рассмотреть функцию g(x) = f(x) −C. Ясно,

что для этой функции выполнены условия теоремы о существовании корня. Тогда в соответствующей точке f(x0) = C.

29