A.M. Kotochigov Metodichka 1 sem Matan

Подвергнем отрезок [a2, b2] аналогичной процедуре. Продолжая процесс, получим последовательность вложенных промежутков [an, bn], причем длина

промежутков стремится к 0. Аксиома вложенных промежутков гарантирует, что их пересечение не пусто и в силу того, что длины промежутков стремятся к 0, это пересечение состоит из единственной точки a. Понятно, что

эта точка и должна быть пределом, но в этом надо убедиться, проверив определение.

2. Доказательство сходимости последовательности. Фиксируем ε > 0 и выберем натуральное число M такое, что bM −aM < ε, обозначим через N наименьшее натуральное число такое, что xN > aM . Тогда по построениюn > N, xn [aM , bM ]. Поскольку

n a [an, bn] |a − xn| 6 bM − aM < ε.

Определение проверено, и теорема полностью доказана.

Заметим, что утверждение теоремы переносится на ограниченные убывающие последовательности (доказательство аналогично). Более того, утверждение о сходимости любой монотонной ограниченной последовательности равносильно аксиоме вложенных промежутков. Оно само может быть принято за аксиому, но тогда аксиома вложенных промежутков превратится в теорему. Это типичная ситуация выбора базовых постулатов теории. Выбирая такую базу, следует иметь в виду перспективы развития. В данном случае аксиома вложенных промежутков предпочтительней. Она очевидным образом переходит в аксиому вложенных шаров, в то вре-

мя как понятие ”монотонность“ исчезает для точек на плоскости или в пространстве.

Сведение доказательства существования предела к проверке монотонности и ограниченности значительно расширяет множество последовательностей, у которых можно гарантировать существование предела. Приведем список таких пределов, которые будут активно использоваться в дальнейшем:

Теорема 1.7 (важные пределы последовательностей):

Доказательства этих утверждений можно найти в [2]. Все они основаны на оценках выражений, возникающих благодаря формуле бинома Ньютона. Последний пример, уже упомянутый во введении, особенно важен. Значение этого предела принято называть и обозначать числом e. Важность этого

10

числа связана с тем, что оно определяет основание показательной функции, не меняющейся при дифференцировании. Это высказывание можно принять за эквивалентное определение предела, но оно, как и первое определение, не позволяет сказать, чему равно это число. Самым удобным для вычисления значения числа e является следующее эквивалентное определение:

Здесь использован символ k-факториал: k! = 1 · 2 · · · k.

1.3Пределы последовательностей и рекуррентные уравнения

Âприближенных вычислениях очень полезна процедура итераций. Не имея возможности явно решить уравнение x = f(x), можно построить по-

следовательность итераций xn = f(xn−1). Начальное приближение x0 ìîæ- но выбирать произвольно. Если последовательность xn сходится и функция

предел дает решение уравнения. Доказать существование предела последовательности трудно, и часто процедуру итераций проводят как эксперимент. Рассмотрим несколько примеров, в решении которых прямо или косвенно участвуют рекуррентные последовательности.

Пример 1.6 (вычисление числа π, формула Архимеда). Будем приближать число 2π периметрами вписанных в единичный круг правильных

многоугольников, последовательно удваивая число сторон многоугольника. Предел периметров равен 2π. Начнем с правильного шестиугольника, его

периметр равен p1 = 6. Рассмотрим правильный многоугольник с числом сторон 3 ·2n. Разобьем его на треугольники с основаниями на сторонах мно-

гоугольника и вершиной в центре круга. Обозначим через tn половину угла при вершине треугольника, находящегося в центре окружности. Тогда

tn = 3 ·π2n è pn = 3 · 2n · 2 sin tn.

Для перехода от tn ê tn+1 придется использовать громоздкий вариант формулы удвоения

11

верно. Проведем индукционный переход

Следовательно, 2π = lim 3 · 2n√2 − xn−1.

n→∞

(линейные рекуррентные уравнения). Рассмотрим последовательность, заданную начальными элементами и формулой, позволяющей получить из них последующие элементы, т. е. рекуррентным уравнением

никакой разумной формулы для xn не просматривается. Не располагая

правильной техникой, получить решение трудно. Тем не менее существует простой алгоритм решения. Он основан на общих соображениях, которые "спрятаны" в контексте задачи. Покажем, что формуле, связывающей

элементы последовательности, обязательно удовлетворяет последователь- ность xn = qn, при подходящем выборе числа

элементы этой последовательности в рекуррентное соотношение, получим уравнение

qn+1 = qn + qn−1 ,

2

которое имеет тривиальное решение q = 0, а все другие решения можно

найти из уравнения q2 = q +2 1. Получаем, что рекуррентной формуле удо- влетворяют последовательности

un = 1(q = 1), vn = (−1/2)n(q = −1/2).

Но ни одна из них не удовлетворяет начальным условиям. Чтобы исправить положение, надо сделать еще одно важное наблюдение: любая последова- тельность вида xn = C1un +C2vn тоже является решением. Такие конструк-

ции называют линейными комбинациями, C1, C2 обозначают здесь произ-

вольные числа. Остается подобрать константы так, чтобы удовлетворить начальным условиям:

x0 = a, x1 = b C1 + C2 = a, C1 − C2/2 = b

12

Таким образом,

Алгоритм, приведенный здесь, чрезвычайно общий. Он позволяет решать

Это уравнение нелинейное, и алгоритм из примера 1.7 здесь не работает.

Предположим, что последовательность имеет предел lim yn = a. Перей-

n→∞

дем к пределу в обеих частях рекуррентного уравнения. Известные свой-

тическую сторону дела: √2 = 1, 4142135..., первое приближение дает 75 один знак после запятой, четвертое приближение дает 9970 четыре знака

после запятой, седьмое 1393985 шесть знаков после запятой. Точность очень хорошая.

Вернемся к теории. Чтобы показать существование предела, придется сослаться на теорию непрерывных (цепных) дробей. Оправдание новому термину легко получить из рассматриваемой задачи.

Перспективы роста формул видны, и они оправдывают ее название. В общем случае непрерывная дробь задается последовательностью натуральных чисел a0, a1, . . . , an:

13

Можно показать, что последовательность xn всегда является сходящейся.

Интерес к этим громоздким и трудным для работы объектам очень велик. Дело в том, что они дают наилучшие рациональные приближения для вещественных чисел. Хорошим введением в теорию непрерывных дробей может служить книга [4].

Пример 1.9 (задача Фибоначчи). Линейные рекуррентные уравнения и непрерывные дроби в некоторых случаях тесно связаны. Эта связь хорошо прослеживается на классическом примере чисел Фибоначчи. Интересный обзор этой темы имеется в [5]. Числа Фибоначчи возникают при решении задачи Фибоначчи. Задача была опубликована в 1202 году как упражнение для счета, в котором предлагалось определить размер популяции кроликов (число пар), растущей от поколения к поколению по закону следующей рекуррентной формулы:

F1 = 1, F2 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1, F100 =?

В современной постановке: определить асимптотику поведения Fn. Çàäà-

чу можно решать как линейное рекуррентное уравнение, но возможен подход, приводящий к непрерывным дробям. Числа Фибоначчи легко связать с непрерывной дробью (самой простой из возможных) n, an = 1. Действи-

тельно, по условию

Далее стандартным путем выводится общая формула:

Числа Фибоначчи имеют замечательную геометрическую интерпретацию. Они тесно связанны с золотым сечением так в древнегреческой архитектуре называли отношение длин сторон прямоугольника, наиболее приятное для глаза. За этим чисто эмоциональным утверждением кроется такой прямоугольник, что если отложить на большей его стороне меньшую и отрезать возникший квадрат, то останется подобный прямоугольник. Такое самоподо-

бие уникально и ощущается на глаз. Анализируя динамику изменения раз-

√

14

1.4 Предел функции

До того как говорить о пределах функций, поясним, что такое функция. Нетрудно дать формальное определение: функция это правило, сопоставляющее некоторым элементам множества A элементы множества B (одному

элементу из A может соответствовать только один элемент множества B).

Пример 1.10 Пусть A множество всех детей, B множество всех отцов. Естественное отображение A в B является функцией, а обратное отображение не является функцией.

Как часто бывает, слишком общее определение не позволяет сказать об определяемых объектах ничего содержательного. Надо жестко ограничить как множества, так и классы функций, допускаемые к рассмотрению. Предел функции будет пределен на множестве функций, отображающих мно-

жество вещественных чисел в себя. Именно понятие ”предела“ позволит выделить среди всех функций этого класса те, с которыми можно активно

работать.

В изложении математических дисциплин обычно избегают новых определений, если соответствующие структуры можно ввести на основе уже имеющихся конструкций. В рассматриваемом случае такая возможность, безусловно, есть.

Определение 1.2 (техническое). Число a является пределом функции f в точке x0, если для любой последовательности xn (xn 6= x0), стремящейся к x0, последовательность yn = f(xn) имеет предел, равный a.

Отметим типичную особенность данного определения. Чтобы не загро-

мождать его "очевидными" оговорками, здесь опущено условие ”последова- тельность xn находится в области определения функции“. Такие вольности

приходится допускать, чтобы не завязнуть в оговорках.

Главным недостатком этого определения является присутствие в нем "двойного перевода". Вначале переформулируется на язык последовательностей утверждение об аргументе функции, затем доказывается утверждение о сходимости последовательности значений функции, и, в завершении, оно переводится в термины функций. Желательно иметь прямое определение.

Определение 1.3 (основное). Число a является пределом функции

f в точке x0, если для любого положительного числа ε существует число δ > 0 (греческая буква "дельта") такое, что из условия 0 < |x − x0| < δ следует, что |f(x) − a| < ε.

15

В символьной записи это выглядит так:

→

Здесь хорошо видно, что определения предела последовательности и предела функции очень близки.

Приведенные определения равносильны, т. е. функция имеет предел в смысле основного определения тогда и только тогда, когда она имеет предел и в смысле технического определения. Доказательство эквивалентности определений не приводится, так как является чисто техническим.

(прямая проверка определения). Покажем, что

Фиксируем положительное число

|x| <

|3 sin x + 4 cos 2x − 4| 6 3|x| + 4| cos 2x − 1| = = 3|x| + 8 sin2 x < 11|x| < 11δ = ε.

Здесь мы воспользовались неравенствами | sin x| 6 |x| и x2 6 |x| ïðè |x| 6 1.

Рассмотренные примеры тривиальны, но по ним легко почувствовать то, насколько усложнится проверка определения в содержательной ситуации. Пределы функций крайне редко вычисляют, проверяя определение. На основе определений создается база основных пределов и доказываются свойства пределов, которые позволяют вычислять пределы для очень широкого класса функций.

Введем еще одно определение, которое позволит переформулировать определение предела в терминах, допускающих широкие обобщения.

Определение 1.4 Назовем ε окрестностью точки x открытый от-

резок с центром в этой точке Vε(x) = (x − ε, x + ε).

Определение предела функции теперь можно записать так: для любой окрестности точки a найдется окрестность точки x0 такая, что функция

→

16

Отметим, что геометрическое определение предела полностью сохраняется при переходе к рассмотрению функций нескольких переменных. Требуется только уточнить определение окрестности: Vε(x) множество точек,

находящихся от точки x на расстоянии меньшем, чем ε. Это определение

одинаково на прямой (функции одной переменной), на плоскости (функции двух переменных) и в пространстве (функции трех переменных).

Надо понимать, что с ростом числа переменных контроль поведения функций значительно усложняется. Например, функция f(x, y) = arctg xy ,

x 6= 0, непрерывна (постоянна) на всякой прямой вида y = kx, но на каждой прямой эта постоянная разная, и предела в точке (0, 0) нет.

Свойства пределов функции и пределов последовательности очень близки. В большинстве случаев как формулировки, так и доказательства очень похожи.

Теорема 1.8 (об ограниченности). Если функция имеет предел в точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Доказательство. Пусть lim f(x) = a. Возьмем ε = 1 и подбе-

x→x0

рем подходящее δ, тогда при 0 < |x − x0| < δ имеем |f(x) − a| < 1, a − 1 < f(x) < a + 1.

Теорема 1.9 (о единственности предела). Если функция имеет предел, то он единственный.

Доказательство повторяет рассуждение, проведенное для последовательностей.

Доказательство. Ограничимся доказательством третьего утверждения. Фиксируем положительное число ε. Теорема об ограниченности гаран-

тирует существование числа δ1 такого, что при |x − x0| < δ1 |f(x)| < M, |g(x)| < M. Согласно определению предела найдется число δ2 > 0 такое,

17

÷òî ïðè |x − x0| < δ2 верно

Тогда при 0 < |x − x0| < min{δ1, δ2} справедливо неравенство

|f(x)g(x) − ab| = |f(x)g(x) − ag(x) + ag(x) − ab| < 2M 2Mε = ε.

Еще одна стандартная операция для функций образование сложной функции или суперпозиция, приводит к теореме, не имеющей аналога для последовательностей.

f(x0) = y0, пусть функция g определена в окрестности точки y0, è ñóùå-

ствует предел lim g(y) = g(y0) = a. Тогда сложная функция h(x) = g(f(x))

y→y0

имеет предел в точке x0 è lim h(x) = a.

x→x0

Доказательство. Фиксируем положительное число ε. Согласно определению предела найдется число δ1 такое, что при |y −y0| < δ1 |g(y) −a| < ε. Воспользуемся информацией о функции f и по δ1 подберем δ2 òàê, ÷òî ïðè |x − x0| < δ2 выполнено |f(x) − y0| < δ1. Объединяя эти утверждения, получим, что при |x − x0| < δ2 верно |h(x) − a| < ε.

Предельные переходы в неравенствах точно такие же, как для последовательностей.

Теорема 1.12 (о сохранении неравенств). Предположим, что суще-

ствуют пределы lim f(x), lim g(x). Тогда справедливы утверждения:

x→x0 x→x0

1) если f(x) > M в некоторой окрестности точки x0, òî

lim f(x) > M;

x→x0

2) если f(x) > g(x) в некоторой окрестности точки x0, òî

lim f(x) > lim g(x).

x→x0 x→x0

Теорема 1.13 (принцип сжатой переменной). Пусть выполнены ра-

венства lim f(x) = lim g(x) = a и в некоторой окрестности точки x0

x→x0 x→x0

f(x) > h(x) > g(x) , тогда существует предел lim h(x) = a.

x→x0

Вычисление пределов всегда можно свести к доказательству того, что некоторая функция стремится к 0. Это обстоятельство используется так часто, что заслужило собственного определения.

18

Определение 1.5 Функция ψ(x) называется бесконечно малой ве-

личиной при x → x0 åñëè lim ψ(x) = 0.

x→x0

Существует удобное стандартное обозначение ψ(x) = o(1) ïðè x → x0, которое читается "функция ψ является о-малым от 1 при x → x0".

С этим обозначением утверждение lim f(x) = a получает еще одну

x→x0

эквивалентную запись f(x) − a = o(1) при x → x0.

Часто ради краткости говорят ”бесконечно малая величина“, предпо- лагая, что из контекста ясно, о какой функции и точке идет речь. Обратите

внимание, что единственная постоянная, являющаяся бесконечно малой, это 0. Среди свойств бесконечно малых величин выделяется одно, которое очень удобно для оформления выкладок с пределами.

Теорема 1.14 (о произведении бесконечно малой и ограниченной величины). Пусть ψ(x) бесконечно малая величина при x → x0 è ôóíê-

ция f(x) ограничена в некоторой окрестности точки x0. Тогда ψ(x)f(x) бесконечно малая величина при x → x0.

Доказательство. По условию существует M такое, что в некоторой

окрестности точки x0 |f(x)| < M. Фиксируем число ε > 0 и, сужая, если нужно, окрестность, добьемся того, что |ψ(x)| < Mε . Следовательно, в этой

окрестности |f(x)ψ(x)| < ε, т. е. определение проверено.

Краткая словесная формулировка теоремы: произведение бесконечно малой на ограниченную бесконечно малая.

При использовании этого обозначения естественным образом возникают его модификации:

1. Функция ψ(x) называется бесконечно малой величиной относительно

функции γ(x) ïðè x → x0, åñëè lim ψ(x) = 0. Соответствующая символь-

x→x0 γ(x)

ная запись ψ(x) = o(γ(x)) ïðè x → x0. Словесная формулировка для этой

ситуации: функция "пси" является бесконечно малой более высокого порядка, чем функция "гамма".

2.Функции, стремящиеся к бесконечности в окрестности точки, принято называть бесконечно большими величинами.

3.Бесконечно малые величины называют эквивалентными, если предел их отношения равен 1, т. е.

ψ(x) γ(x) ïðè x → x0, åñëè lim ψ(x) = 1.

x→x0 γ(x)

19