A.M. Kotochigov Metodichka 1 sem Matan

Определение 2.4 (классификация разрывов). Точки, в которых функция не является непрерывной, называют точками разрыва. Принято различать два типа поведения функции в окрестности точки разрыва.

Разрыв первого рода: функция имеет пределы справа и слева, но хотя бы один из них не совпадает со значением функции в этой точке.

Все остальные разрывы называют разрывами второго рода. Пример 2.2 (различные виды разрывов):

1) функция arctg(1/x) имеет разрыв первого рода в 0;

3) функция sin(1/x) имеет разрыв второго рода, нет ни одного из односторонних пределов.

3Производная

3.1Определение и техника вычисления производных

Возникшее в XVII веке понимание того, что скорость изменения функции дает важную информацию о поведении функции, в корне изменило математику, определило ее взаимодействие с другими областями знаний, а возникающие при этом обратные связи стимулировали развитие востребованных направлений математики. Заложенная в определении связь производной и касательной к графику функции позволяет придать исследованию функций по производной ясный геометрический характер.

Определение 3.1 Пусть функция f задана в окрестности точки x. Если существует предел

lim f(x + ) − f(x),

→0

то он называется производной функции в точке x. Сокращенная словесная

формулировка: производная есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента.

Существует два стандартных способа обозначать производную: обозна- чение Ньютона f0 и обозначение Лейбница dxdf .

Ньютон (1642 1716) и Лейбниц (1646 1727) внесли решающий вклад в осознание значимости производной. История этих открытий дает первый яркий пример борьбы за авторские права, следствием которой являются сохранившиеся навсегда обозначения, каждое из которых имеет свою естественную область применения, равно как и заслуги их авторов.

30

Операцию вычисления производной называют дифференцированием. Функции, обладающие производной, называют дифференцируемыми. Интуитивно ясно, что условие дифференцируемости сильнее условия непрерывности. Следующая теорема подтверждает этот факт.

(о непрерывности дифференцируемой функции) Если функция f дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. По определению предела из существования производной следует, что ε > 0 δ > 0 такое, что

Замечание 3.1 Условие непрерывности не гарантирует дифференцируемости. Это проявляется на очень простых функциях: f(x) = |x| непре-

рывна в нуле, но не дифференцируема в этой точке. Методика вычисления производных по понятным причинам воспроизводит методику вычисления пределов. Прямая проверка определения, как правило, затруднительна, но факт существования производной, как правило, следует из алгоритма вы- числения производной. Базу вычисления производных дает следующая таблица, на основе которой действуют правила вывода. Далее составляется список свойств производных формул (правил вывода), которые позволяют расширять таблицу производных и вычислять производную любой дартной“ функции.

Таблица производных

31

Эту таблицу необходимо помнить. Она чрезвычайно важна для последующей работы.

Доказательства формул таблицы производных основаны на замеча- тельных пределах, что и оправдывает их название.

1. Начнем с вычисления производной в точке x = 1 это четвертый замечательный предел (см. 1.4)

lim (1 + )a − 1 = a,

→0

общий случай сводится к уже рассмотренному

2. Схема доказательства та же, она опирается на второй замечательный предел (см. 1.4)

3. Воспользуемся третьим замечательным пределом

4. Доказательство сводится к первому замечательному пределу (стр.21)

5.Доказательство аналогично предыдущему.

6.Эта формула следует из формулы для дифференцирования частного, которая будет доказана ниже.

7 9. Эти формулы будут выведены из формулы дифференцирования обратной функции, в рамках обсуждения неявных функций.

Обсуждение таблицы производных демонстрирует востребованность

формул дифференцирования. Все формулы пишутся в предположении существования производных f0(x) è g0(x).

32

Формула дифференцирования суммы

(f(x) + g(x))0 = f0(x) + g0(x).

Эта формула является прямым следствием определения и соответствующего свойства пределов.

Формула дифференцирования произведения

(f(x) · g(x))0 = f0(x) · g(x) + f(x) · g0(x),

в частности (k · g(x))0 = k · g0(x), k R.

Доказательство. Воспользуемся определением, свойствами пределов и непрерывностью функции g (всякая дифференцируемая функция непре-

рывна):

= f0(x) · g(x) + f(x) · g0(x).

Формула дифференцирования частного

f(x) 0 = f0(x) · g(x) − f(x) · g0(x). g(x) g2(x)

Доказательство аналогично предыдущему.

Формула дифференцирования сложной функции

(f(g(x)))0 = f0(g(x)) · g0(x).

Здесь предполагается, что функция g дифференцируема в точке x и функция f дифференцируема в точке y = g(x).

33

Доказательство:

(f(g(x)))0 = lim f(g(x + )) − f(g(x)) =

→0

ема на всей прямой. Функция является элементарной, но точка ноль формально не входит в область ее определения, и сослаться на дифференцируемость элементарных функций нельзя. Заметим, что

Положим f(0) = π2 , и функция станет непрерывной на всей прямой. Проверим, нельзя ли поступить таким же образом с производной

Положим f0(0) = 0, и производная станет непрерывной на всей прямой.

Полученные формулы дифференцирования и таблица производных позволяют дифференцировать любые элементарные функции, но при этом может оказаться полезным простое наблюдение: дифференцировать сумму легче, чем произведение или частное.

34

Рассмотрим задачу о дифференцировании следующей функции:

(2x + 3)1/4(4x + 1)1/5 f(x) = (6x + 2)1/3(2x + 5)1/6 .

Дифференцирование по формуле производной частного даст очень громоздкие выражения. Но если прологарифмировать нашу функцию и воспользоваться свойствами логарифмов: ln ab = ln a + ln b, ln ak = k ln a, то возник-

нет функция, дифференцировать которую очень легко. Это делает полезной

формулу логарифмического дифференцирования :

Использование формулы требует аккуратного контроля за областями определения функций, участвующих в вычислениях. Чтобы не загромождать выкладки, будем считать, что в рассматриваемых далее примерах x > 0.

Применим формулу для решения нашей задачи

Этот прием полезен и для работы со сложными степенными функциями:

3.2 Геометрический смысл производной. Дифференциал. Частные производные. Производная неявной функции

Определение производной содержит ясный геометрический подтекст: две точки на графике функции (x, f(x)), (x + , f(x + )) определяют пря-

мую секущую графика, отношение f(x + ) − f(x) равно тангенсу угла

наклона секущей. Если существует производная, то секущие имеют предельное положение касательную к графику функции в точке (x, f(x)).

Таким образом, геометрический смысл производной состоит в том, что она

35

равна тангенсу угла наклона касательной. Это позволят получить формулу касательной к графику функции.

Следствие 3.1 (уравнение касательной). Если функция f(x) име-

ет производную в точке x0, то существует касательная к графику функции в этой точке, уравнение которой можно записать так: y = f(x0)+f0(x0)(x−x0).

Пример 3.3 (касательная к эллипсу) Кривая, заданная уравнением

дает пример эллипса. Если y > 0, то уравнение задает функцию y = y(x),

липсе. Запишем явное выражение для функции y = y(x) и ее производной y = y0(x) в окрестности этой точки:

Понимание того, что касательная дает хорошее приближение функции в окрестности точки касания, важно для развития аппарата математиче- ского анализа и заслуживает специального определения.

Определение 3.2 Дифференциалом функции f(x) в точке x называ-

ется линейная часть ее приращения, если она существует. Т. е. приращение функции допускает представление в виде линейной функции от приращения аргумента и величины бесконечно малой относительно приращения аргумента:

Приведенное определение страдает отсутствием явного выражения для постоянной A, но видно, что она просто связана с производной. Это подтвер-

ждает следующая теорема.

(о связи производной и дифференциала). Функция f(x) имеет дифференциал в точке x тогда и только тогда, когда она имеет производную в этой точке. При этом A = f0(x), df(x) = f0(x)dx.

Доказательство:

36

Необходимость. Условие существования дифференциала можно записать так:

Правая часть выражения по определению равна производной. Следовательно, функция дифференцируема.

Достаточность. Если существует производная, то по определению

Это означает, что существует дифференциал. Пример 3.4 Вычислим дифференциал функции, описывающий эл-

x2 y2

ëèïñ 52 + 22 = 1 в точке x = 4. Как было показано в примере 3.3, в окрест-

r

x2

ности этой точки уравнение эллипса задается функцией y = 2 1 − 52 è y0(4) = −158 . Следовательно, df|x=4 = −158 dx.

Проведенные вычисления выглядят абстрактными, но практическую пользу от них можно получить сразу же.

Пример 3.5 (приближенное вычисление значений функции). Если известно значение дифференцируемой функции f(x) в точке x, то справедливо соотношение f(x + ) ≈ f(x) + f0(x) . Рассмотрим работу этой фор-

r

x2

мулы применительно к функции из примера 3.4 f(x) = 2 1 − 52 . Эффек- тивное использование формулы основано на том, что в качестве x берется

число, для которого значение функции вычисляется легко, например, x = 4. Для вычисления значения функции в точке x = 4, 1 требуются значительно большие усилия, а приближенное значение посчитать очень легко:

Точность такого вычисления невысока, но скорость вычисления резко возрастает.

Формула для приближенных вычислений, прочи- танная в обратную сторону, дает простой и эффективный способ оценки погрешностей вычислений. Допустим, требуется измерить некоторую вели- чину x и известно, что при этом возможна ошибка, значение которой не пре-

восходит . Оценить ошибку, которая возникнет при вычислении величины

37

f(x), мы пока не можем (такую оценку даст следствие 3.4), но линейную

аппроксимацию для ”пересчета“ ошибки можно выписать уже сейчас. Пример 3.6 Предположим, известно, что точка (4, y) лежит на эл-

(приближенное решение уравнений метод касательных). Как было отмечено, схема доказательства теоремы о существовании корня дает алгоритм решения любого уравнения, точнее, возможность локализовать положение корня с любой заданной точностью. Но в практических расчетах, этот алгоритм не используют. Медленная сходимость приводит к тому, что ошибки округления, неизбежные в расчетах уводят вычислительный процесс от поставленной задачи. Использование приближений с помощью касательных позволяет эффективно решать уравнения вида f(x) = 0

для дифференцируемых функций f.

Выберем начальное приближение x0 и заменим в основном уравнении f(x) = 0 функцию на касательную в точке x0. Это даст линейное уравне-

íèå f(x0) + f0(x0)(x − x0) = 0, решение которого x1 = x0 − f0(x0) возьмем в качестве следующего приближения. Снова проведем касательную, решим

f(x1)

линейное уравнение и получим следующее приближение: x2 = x1 − f0(x1). Таким образом, порождается последовательность приближений. Легко видеть, что åñëè последовательность сходится, то ее предел является решением уравнения. Гарантировать сходимость приближений трудно. Это связано с очень жесткими требованиями к выбору начального приближения. Сходимость процесса, если она есть, достаточно быстрая, поэтому обычно доверяют численному эксперименту. Если в ходе вычисления точки приближений хорошо группируются, то процесс считают сходящимся. Если же процесс не стабилизируется, то надо тщательнее подбирать начальное приближение.

Метод касательных (его часто называют методом Ньютона) замечателен еще и тем, что он легко обобщается на более высокие размерности и позволяет искать решения нелинейных систем уравнений.

Решение ряда существенных вопросов для функций одной переменной приводит к необходимости говорить о функциях нескольких переменных. С

38

этой целью, введем несколько фундаментальных определений, касающихся функций нескольких переменных.

Определение 3.3 (частная производная функции двух переменных). Говорят, что функция f(x, y) имеет частную производную по аргументу x,

если функция g(x) = f(x, y) (величина y предполагается здесь неизменной) имеет производную g0(x) как функция одной переменной. Частная произ-

водная обозначается fx0 (x, y).

Для вычисления частных производных не требуется никаких новых правил. Надо только четко различать, какая часть функции в данной ситуации является переменной, а какая постоянной.

Вернемся к уравнению эллипса из примера 3.4 и за-

Очевидно, что для функций нескольких переменных не может быть производной, определяемой как предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Во-первых, приращение аргументавектор, и деление невозможно. Во-вторых, частные производные функции в фиксированной точке, как правило, различны. На этом фоне становится понятным универсальное значение дифференциала его определение полностью сохраняется.

Определение 3.4 Дифференциалом функции F (x, y) в точке (x, y)

называется линейная часть ее приращения, если она существует, т. е. приращение функции допускает представление в виде линейной функции от приращений аргументов и величины бесконечно малой относительно приращений аргументов:

F = F (x + x, y + y) − F (x, y) = Ax x + Ay y + ψ( x, y),

смысл дифференциала он определяет прямую касательную к кривой F (x, y) = const.

Пример 3.8 (касательная к эллипсу). Чтобы ”оправдать“ ïîÿâ- ляющиеся без вывода формулы, еще раз получим уравнение касательной

39