A.M. Kotochigov Metodichka 1 sem Matan

к эллипсу из примера 3.3. Как и в примере 3.7, представим уравнение эл-

x2 y2

липса в виде F (x, y) = 1, F (x, y) = 52 + 22 . Тогда на эллипсе dF = 0, а, с другой стороны, по определению dF = Fx0 dx+Fy0dy. Теперь запишем уравне-

предыдущего примера, получим значения частных производных и запишем дифференциал в этой точке

Заменив дифференциалы независимых переменных на их приращения, получим уравнение касательной

Уравнение касательной сохранилось прежним, и это косвенно подтверждает правильность алгоритма.

Новый метод получения касательной оказывается более приспособленным к ситуации. Это видно из следующего примера. Рассмотрим эллипс

тельный вид уравнения

x0x + y0y = 1. a2 b2

Аналогии между дифференциалом функции одной и нескольких переменных очень глубокие, можно так же, как в примере 3.5, проводить приближенные вычисления значений функций или решать системы нелинейных уравнений (метод Ньютона). Возможность написать уравнение касательной к неявно заданной функции, т. е. кривой, определяемой уравнением F (x, y) = 0, позволяет дать приближенное явное описание функции. Если

a c

касательная имеет вид ax + by = c, то y = −b x + b. Само это приближе- ние не имеет большой ценности, но оказывается, что производные у неявной

40

функции и у касательной совпадают. Этот факт имеет множество следствий и приложений. Он составляет содержание следующей теоремы.

Теорема 3.3 (о неявной функции). Если точка (x0, y0) удовлетво-

ряет уравнению F (x0, y0) = 0, функция F (x, y) имеет в окрестности этой точки непрерывные частные производные Fx0 , Fy0 è Fy0(x0, y0) 6= 0, òî ñóùå-

ствует функция ψ(x) такая, что:

1)F (x, ψ(x)) ≡ 0 в некоторой окрестности точки x0.

2)функция ψ(x) дифференцируема и при этом

ψ0(x0) = −Fx00(x0, y0). Fy(x0, y0)

Доказательство теоремы сложное, подробное его изложение можно найти в книге [7]. Основную трудность представляет доказательство дифференци-

руемости функции ψ. Если дифференцируемость доказана, то основная, с точки зрения приложений, формула легко выводится

dF = 0 Fx0 dx + Fy0dy = 0 dy = −Fx00 . dx Fy

Пример 3.9 (производная неявной функции, описывающей эллипс).

x2 y2

Рассмотрим эллипс F (x, y) = 1, F (x, y) = 52 + 22 . Фиксируем точку на

y = ψ(x) и дает способ вычисления ее производной ψ0(6) = −158 . Результат получился тот же, что в примере 3.3, а объем вычислений значительно

сократился.

Уравнение x3 + y3 = 3axy задает кривую, которую на-

зывают декартов лист. Сохранение имени за кривой свидетельствует о признании глубокого понимания Декартом тонкостей анализа. Декарт жил до Ньютона и Лейбница и не мог пользоваться аппаратом анализа в современном понимании. Полный нетривиальный анализ этой кривой будет проведен постепенно, по мере формирования подходящего аппарата. На первом этапе вычислим производные неявных функций, заданных уравнением

F (x, y) = 0, F (x, y) = x3 + y3 − 3axy,

41

Пример 3.11 Рассмотрим описания кривой, заданной уравнением x2 +y2 = x4 +y4. Как и для листа Декарта, начинаем исследование трудной

для анализа кривой с вычисления производных неявно заданных функций:

Из теоремы о неявной функции легко извлечь способ вычисления производной обратной функции.

Следствие 3.2 Если функция f(x) дифференцируема и при этом f0(x0) 6= 0, то в некоторой окрестности точки x0 функция f(x) имеет обратную функцию g(y), которая также непрерывно дифференцируема и

Доказательство. Рассмотрим функцию F (x, y) = y − f(x). Заметим, что Fy0(x, y) = 1, Fx0 (x, y) = −f0(x). Можно воспользоваться теоремой о

Теперь можно завершить рассмотрение формул из таблицы производных.

Пример 3.12 Функции y = f(x) = sin x, x = g(y) = arcsin y удовлетворяют условиям следствия. Это означает, что g0(y) = f01(x). Запишем

формулу подробней, проведем тождественные преобразования и получим формулу для производной функции arcsin (чтобы не отягощать вычисле-

ния, будем считать, что 0 < x < π/2):

Говорят, что кривая L задана параметрически, если указана пара непрерывных функций x = x(t), y = y(t) таких, что точка лежит на кривой тогда и только тогда, когда ее координаты могут быть записаны в виде (x(t), y(t)), a 6 t 6 b.

Параметрически заданная функция называется гладкой, если функции x = x(t), y = y(t) дифференцируемы при a 6 t 6 b. Решение многих

42

задач требует знания производной dxdy èëè dxdy . Теорема о неявной функции позволяет ответить и на этот вопрос.

Следствие 3.3 Если функции x = f(t), y = g(t) дифференцируемы при a < t < b и f0(t0) 6= 0, то в окрестности точки x0 = f(t0) существует дифференцируемая функция y = h(x) такая, что y = h(x) тогда и

только тогда, когда существует t такое, что x = f(t), y = g(t), при этом

Доказательство. Из имеющихся условий и предыдущего следствия вытекает существование в окрестности точки x0 дифференцируемой функ-

öèè t = ψ(x),обратной к функции x = f(t), причем ψ0(x0) = 0 1 . f (t0)

Тогда в качестве y = h(x) можно взять функцию h(x) = g(ψ(x)). Âîñ-

пользуемся формулой дифференцирования сложной функции и получим g0(t0)

f0(t0).

Пример 3.13 Для описания кривых, обладающих центральной симметрией, удобно использовать полярные координаты

x = r cos t, y = r sin t, r > 0, 0 6 t < 2π.

Окружность x2 + y2 = R2

натной линией r = R. Это позволяет записать параметрическое уравнение окружности x = R cos t, y = R sin t, 0 6 t < 2π. Теперь легко вычислить

производную dxdy = −cossin tt.

Небольшая модификация полярных координат позволяет параметризовать эллипс:

Пример 3.14 Рассмотрим пример кривой, для которой параметриче-

ское описание вытекает из геометрических соотношений, составляющих ее определение. Окружность x2 + (y − a)2 = a2 катится по оси Ox, требуется

описать траекторию точки окружности, находившейся в начальный момент в начале координат. Возникающую при этом кривую называют циклоидой.

43

Легко понять, что после поворота окружности на угол t отмеченная точка будет иметь координаты x = a(t−sin t), y = a(1−cos t) это и есть параметрическое описание траектории. Вычислим параметрическую производную

−∞ < t < ∞. При этом для производной получится выражение, удобное для дальнейшей работы:

3.3 Основные теоремы о дифференцируемых функциях

Собранные здесь достаточно простые следствия определения производной составляют основу разнообразных приложений этого понятия.

Теорема 3.4 (Ферма). Если функция f дифференцируема на интервале [a, b] и принимает наибольшее (или наименьшее) значение во внут-

ренней точке интервала x0 (a, b), то производная функции в этой точке равна 0.

ложим, для определенности, что в точке x0 функция принимает наибольшее

f(x0 + ) − f(x0) > 0, следовательно, f0(x0) > 0. Объединив полученные

неравенства, получим f0(x0) = 0.

Теорема 3.5 (Ролля). Если функция f дифференцируема на ин-

тервале [a, b] и принимает на концах интервала равные значения, то внутри интервала найдется точка c (a, b) такая, что f0(c) = 0.

Доказательство. Функция непрерывна на интервале. По теореме 2.4

ее наибольшее и наименьшее значения достигаются в точках интервала

M = f(x ) = max(f(x) : x [a, b]), m = f(x ) = min(f(x) : x [a, b]).

Åñëè M = m, òî f(x) = M, x [a, b] è f0(x) ≡ 0. Если M 6= m, то в силу равенства значений функции на концах промежутка, хотя бы одна из точек

44

x , x лежит внутри интервала. Обозначим эту точку через c и, применив теорему Ферма, получим f0(c) = 0.

Теорема Ролля допускает ”поворот“, позволяющий отказаться от усло- вия равенства значений функции на концах интервала.

Теорема 3.6 (Лагранжа). Если функция f дифференцируема на интервале [a, b], то внутри интервала найдется точка c (a, b) такая, что выполняется равенство

f(b) − f(a) = f0(c). b − a

Теорема имеет простой геометрический смысл: на любой дуге графика дифференцируемой функции найдется точка, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей концы дуги.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

Легко проверить, что g(a) = g(b) = 0. Применив к функции g теорему Ролля, найдем точку c (a, b) такую, что g0(c) = 0. Остается заметить, что

0 = g0(c) = f0(c) − f(b) − f(a). b − a

Доказанная теорема допускает переформулировку, часто используемую в приложениях.

Следствие 3.4 (формула конечных приращений). Если функция f дифференцируема на интервале [a, b], то существует постоянная t (0, 1)

такая, что f(b) = f(a) + f0(a + t(b − a)) · (b − a).

Доказательство. Достаточно заметить, что точку c из формулировки теоремы всегда можно записать в виде c = a + t(b − a), t (0, 1).

Следствие 3.5 Если функция f дифференцируема на интервале [a, b] и f0(x) ≡ 0, òî f(x) ≡ const.

Важным техническим инструментом оказывается модификация теоремы Лагранжа для случая двух функций.

Теорема 3.7 (Коши). Если функции f и g дифференцируемы на интервале [a, b] и g(a) 6= g(b), то внутри интервала найдется точка c (a, b) такая, что

45

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

h(x) = f(x) − f(a) − f(b) − f(a)(g(x) − g(a)). g(b) − g(a)

Легко видеть, что h(a) = h(b) = 0. Применив к функции теорему Ролля и найдем точку c (a, b) такую, что h0(c) = 0. Вычислив производную

функции, получим f0(c)−f(b) − f(a) g(b) − g(a)

Эта теорема дает мощный инструмент для вычисления пределов.

Теорема 3.8 (правило Лопиталя). Если lim f(x) = 0, lim g(x) = 0,

x→x0 x→x0

обе функции дифференцируемы в окрестности точки x0, и существует пре-

Здесь c (x0, x) точка, существование которой гарантирует теорема.

Теорему 3.8 называют правилом раскрытия неопределенностей вида 00. Существует целый ряд других типов неопределенностей, которые либо вы-

числяются подобным образом, либо сводятся к предыдущим. Для неопределенностей вида ∞∞ правило сохраняется.

Теорема 3.9 Если lim f(x) = ∞, lim g(x) = ∞, функции диффе-

то существует предел lim f(x) и он тоже равен A.

x→x0 g(x)

Эта теорема тоже доказывается с помощью теоремы Коши, но доказательство осложняется необходимостью работать с бесконечно удаленной точкой. Доказательство формулы можно прочесть в учебниках [1] или [6].

Короткая, удобная для запоминания формулировка обеих формул: предел отношения функций равен пределу отношения производных. Но при этом надо проверять все условия теоремы, иначе возникнут ошибки, заметить которые трудно. Рассмотрим пример, в котором выполнены условия относительно функций, но не выполнено условие на производные.

46

Пример 3.16 Вычислить lim x − sin x. x→∞ x + sin x

Можно взглянуть на задачу как на неопределенность вида ∞∞ è ðàñ-

1 − cos x

смотреть предел производных lim 1 + cos x. Этот предел не существует.

x→∞

ственно равно 1, а при x = 2πk отношение тождественно равно 0. Однако,

прямая проверка (выделение главной части в числителе и знаменателе) показывает, что предел отношения функций равен 1.

g1(x)

lim f (x). Однако такое преобразование значительно усложнит вычисле-

x→x0 1

ния. Другие типы неопределенностей сводят к двум уже рассмотренным с помощью тождественных преобразований. Приведем некоторые из них в символьном виде:

∞ · 0 = ∞∞, ∞ − ∞ = ∞ · 0.

приведен в замечании, сопровождающем пример 1.19, как задача, которую невозможно было решить средствами, доступными на тот момент. Правило Лопиталя делает решение простым:

В решении примера возникла типичная ситуация: после первого применения правила Лопиталя неопределенность сохранилась, и можно пытаться применить правило повторно.

47

Замечание 3.7 Вторая задача, упомянутая в замечании, сопровождающем пример 1.19,

lim tg sin x − sin tg x,

x→0 x7

формально может быть решена по правилу Лопиталя. Но перспектива дифференцировать числитель семь раз делает такое решение крайне тяжелым. Удобный, хотя и непростой, способ решения будет приведен в следующем параграфе.

3.4 Высшие производные. Формула Тейлора

Определение 3.6 Если функция f имеет производную в окрестности

точки x0 и функция g(x) = f0(x) имеет производную в точке x0, òî ãîâî- рят, что функция f дважды дифференцируема в точке x0, функцию g0(x)

называют второй производной. Далее по индукции определяется производная n-го порядка (если она существует). Стандартное обозначение для n-й

производной f(n) èëè dnf dxn .

Замечание 3.8 Из определения видно, что для вычисления высших производных не требуется никаких новых правил. Объем вычислений, необходимых для получения n-й производной, как правило, быстро растет

с ростом номера производной.

Пример 3.19 Имеется небольшое число функций, для которых высшие производные вычисляются легко:

((1 + x)a)(n) = a · (a − 1) · · · (a − n + 1) · xa−n.

Но, как правило, эти вычисления громоздки и приводят к формулам, которые трудно использовать.

Упражнение 3.1 Докажите, что f(n)(x) ≡ 0 тогда и только тогда, когда функция является многочленом степени меньше n.

48

Высшие производные можно вычислять и от функций, заданных неявно или параметрически. Рассмотрим эту процедуру на примере параметриче- ских функций. Аналогичная формулу для неявных функций существует, но здесь не используется.

49