A.M. Kotochigov Metodichka 1 sem Matan

Определение имеет очень простой геометрический смысл: при больших значениях аргумента график функции очень близок к графику прямой. Метод нахождения асимптоты вытекает из определения:

Пример 3.27 (нахождение асимптот для явно заданных функций):

Упражнение 3.3 (построение графика декартова листа). Анализ экстремумов, проведенный в примере 3.25 (6), позволит описать кривую при изменении параметра на отрезке 0 < t < +∞. Кривая на этом

участке имеет форму овала. При t = 0 и t = ∞ возникает точка самопересечения x = 0, y = 0, причем в первом случае касательная горизон-

тальна, а во втором вертикальна. На оставшихся интервалах изменения параметра −1 < t < 0, −∞ < t < −1 график, стартуя из начала ко-

ординат, уходит на бесконечность, при этом на обоих участках неявная функция y = y(x) такова, что y0(x) < 0, y(2)(x) > 0. Описание кривой

на этом участке упрощается тем, что кривая имеет наклонную асимптоту

ная асимптота x + y + a = 0.

Как было показано, вторая производная отвечает за то, как выгнут график функции. Оказывается, с помощью второй производной можно дать количественную характеристику кривизны кривой, точнее, можно вычислить радиус круга, касающегося кривой в заданной точке (вторая производная разности равна нулю). Радиус кривизны графика функции y = f(x) можно

вычислить по формуле

Не обсуждая вывода формулы, ”проверим“ ее на окружности. Функ- цию, представляющую верхнюю полуокружность радиуса r, запишем в виде

60

√

f(x) = r2 − x2, |x| 6 r. Вычислим производные:

Легко проверить, что радиус кривизны прямой бесконечен. Эти, на первый взгляд, сугубо математические выкладки имеют важные приложения в повседневной жизни. Центробежная сила, возникающая при движении в повороте, пропорциональна радиусу кривизны. Поэтому, если рельсы железнодорожной линии состыкованы, как прямая и окружность, то в этом месте радиус кривизны терпит разрыв, сила изменяется скачком, и всякий двигающийся объект будет ощущать удар [8, т. 1, гл. 2, 7].

61