Алгоритм метода Ньютона
1.Выбираем начальное приближение x0.
Для улучшения сходимости метода начальное приближение следует выбирать по возможности ближе к искомому корню уравнения.
2. По формуле |
xk 1 |
xk |
|
f (xk ) |
|||
|
|
df (x) |
|
|
|
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
dx |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|||
рассчитывается значение xk+1 |
|||||||
3. Проверяется условие завершения |xk – xk+1|< , где
- заранее заданная допустимая погрешность.
Если условие выполняется, то вычислительный процесс заканчивается, если нет, то переходим к шагу 2.
Пример. Решим методом Ньютона уравнение x3+2x2+3x+5=0, взяв в качестве начального приближения x0=-2 и задав точность =0,000001.
Поскольку f (x) 3x2 4x 3 ,
то итерационная формула метода Ньютона будет такой:
xk 1 xk |
xk 3 2xk 2 3xk 5 |
|
|
||
|
3xk |
2 4xk 3 |
Применяя эту формулу, последовательно находим:
x1=-1,857143; x2=-1,843842; x3=-1,843734; x4=-1,843734;
Метод может быть использован для случая функции многих переменных F(X). В этом случае на втором шаге алгоритма вычисления для переменной xj проводятся по выражению
(xj )k 1 |
(xj )k |
F(X k ) |
|
||
F(X ) |
|
|
|||
|
|
||||
|
|
|
|
||
|
|
xj |
|
k |
|
условие завершения |(xj)k – (xj)k-1|< j, |
|||||
|
|||||
j - заранее заданная допустимая погрешность по переменной xj.
Пример. Найти корень уравнения с точностью =0,2
(x1 2)2 (x2 1)2 0
F 2x1 4x1
F
x2 2x2 2
Выберем стартовую точку X0=(5;6)
Xk |
F(Xk) |
F/ x1 |
F/ x2 |
Xk+1 |
5;6 |
34 |
6 |
10 |
-0,67;2,6 |
-0,67;2,6 |
9,689 |
-5,34 |
3,2 |
1,14;0,428 |
1,14;0,428 |
1,067 |
-1,72 |
-1,144 |
1,76;1,36 |
1,76;1,36 |
0,187 |
-0,48 |
0,72 |
2,15;1,1 |
2,15;1,1 |
0,033 |
0,3 |
0,2 |
2,04;0,935 |
2,04;0,935 |
5,8 10-3 |
0,08 |
-0,13 |
|
Численное дифференцирование
По значениям функции f(x) в некоторых узлах x0 , x1 , ... , xN строят интерполяционный полином PN(x) и приближенно
полагают |
f(r)(x) ≈P(r)N(x), 0 ≤ r ≤ N |
|
Формула численного дифференцирования с остаточным членом
f(r)(x) = P(r)N(x) + R, 0 ≤ r ≤
N
остаточный член R - погрешность численного дифференцирования
Формулы численного дифференцирования с остаточными членами для узлов, расположенных с постоянным шагом h
r=1, N=1 (два
узла):f '(x0 ) = (y1 - y0 )/h - hf ''( )/2 - правосторонняя
разность
f '(x1 ) = (y1 - y0 )/h + hf ''( )/2 – левосторонняя разность
r=1, N=2 (три
узла): f '(x0 ) = (-3y0 + 4y1 - y2)/2h + h2f '''(x)/3
f '(x1 ) = (y2 - y0)/2h - h2f '''(x)/6 - центральная разность
f '(x2 ) = (y0 – 4y1 + 3y2)/2h + h2f '''(x)/3
r=2, N=2 (три узла):
f ''(x0 ) = (y0 – 2y1 + y2 )/h2 - hf '''( )
f ''(x1 ) = (y0 – 2y1 + y2 )/h2 - h2f (4)( )/12
f''(x2 ) = (y0 – 2y1 + y2 )/h2 + hf '''( )
Вприведенных формулах ξ есть некоторая точка (своя для каждой из формул) из интервала (x0 , xN).
Численное интегрирование
Задача численного интегрирования состоит в нахождении
приближенного значения интеграла:
L f b f (x)dx
a
В качестве приближенного значения интеграла
L[f]
рассмотрим следующее:N
LN f li f
i 1
где li[f] - формула для приближенного вычисления интеграла
xi |
|
|
xi 1 |
f (x)dx |
на отрезке [xi-1,xi]. |
Формула прямоугольников.
Заменим на отрезке [xi-1, xi] функцию y=f(x) полиномом нулевой степени
xi |
|
li f P0,i (x)dx hf ( i ) , ξi = (xi+xi-1 ) /2 |
|
xi 1 |
N |
|
LN f h f ((xi 1 xi ) / 2) |
|
i 1 |
Для случая учета значений функции только в конечных точках интервала
N
LN f h yi
i 1