Анализ во временной области (динамический анализ).
Математическая модель во временной области пассивного фильтра нижних частот (изменение во времени напряжения на выходе фильтра).
RCdUa/dt + Ua = Ue
R
C Ua(t)
Ue(t)
С математической точки зрения численное решение на отрезке [a, b] задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка
y' = f(x, y), y(a) = y0
состоит в построении таблицы приближенных значений y0, y1, ..., yi, ... yN решения y(x) в узлах сетки. Если
xi = a+ i h, h=(b-a)/ N, то сетка называется равномерной.
При временном анализе в качестве переменной х используется время.
Численный метод решения задачи Коши называется одношаговым, если для вычисления решения в точке x0 + h
используется информация о решении только в точке x0.
Метод Эйлера.
В методе Эйлера величины yi вычисляются по формуле
yi+1 = yi + h f(xi , yi), i = 0, 1, ...
Пример. Найдем методом Эйлера решение уравнения
dUdt 2t2 2U
при следующих начальных условиях: t=0, U=1.
Аналитическое решение этого уравнения с учетом заданных начальных условий имеет вид:
U 1,5e2t t 2 t 0,5
Шаг сетки (шаг интегрирования) возьмем равным t=0,1.
Расчетные выражения
t |
0 |
=0, |
U |
= 1, t |
i+1 |
= t |
i |
+ 0.1, U |
i+1 |
= U |
+ 0.1(2t 2 |
+ 2U |
i |
). |
|
|
0 |
|
|
|
i |
i |
|
|
|||||
|
|
|
|
t i |
|
|
|
Ui |
|
Точное решение |
|
|
||
|
|
|
0,1 |
|
|
|
1,2000 |
|
|
1,2221 |
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
1,4420 |
|
|
1,4997 |
|
|
|
|
|
|
|
0,3 |
|
|
|
1,7348 |
|
|
1,8432 |
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
2,1041 |
|
|
2,2783 |
|
|
|
|
|
|
|
…… |
|
|
|
…. |
|
|
……. |
|
|
|
|
|
|
|
1,0 |
|
|
|
7,0472 |
|
|
8,5836 |
|
|
|
|
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка
yi+1 = yi + h (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6 , i = 0, 1, ...
k1 = f(xi , yi),
k2 = f(xi+h/2, yi+hk1/2), k3 = f(xi+h/2, yi+hk2/2),
k4 = f(xi+h, yi+hk3)
Пример. Решим методом Рунге-Кутта 4-го порядка предыдущую задачу.
|
t i |
Ui |
Точное решение |
0,1 |
1,2221 |
|
1,2221 |
0,2 |
1,4997 |
|
1,4997 |
0,3 |
1,8432 |
|
1,8432 |
0,4 |
2,2783 |
|
2,2783 |
…… |
…. |
|
……. |
1,0 |
8,5834 |
|
8,5836 |
Для практической оценки погрешности проводят вычисления с шагами h и h/2. За оценку погрешности решения, полученного с шагом h/2, принимают величину, равную
max |
|
yh |
yh / 2 |
|
|
||||
|
i |
2i |
||
2p 1 |
||||
|
|
|||
где p - порядок метода, yi(h) - приближенное решение, вычисленное с шагом h, y2i(h/2) - приближенное решение, вычисленное с шагом h/2.
Для метода Рунге-Кутта 4 порядка точности оценка погрешности может быть получена по выражению max|y2i(h/2) - yi(h) |/15.
Анализ процессов в проектируемых объектах на макроуровне в частотной области
Для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений справедливо применение преобразования Фурье для сведения дифференциальных уравнений к алгебраическим, в котором оператор d/dt заменяется на частоты j .
Пара взаимных преобразований Фурье (прямое и обратное)
имеет вид: |
|
|
|
A( j ) h(t)e j t dt |
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
h(t) |
A( j )e j t d |
||
2 |
|||
|
|
||
A(j ) - частотная характеристика анализируемой системы, h(t) – импульсная характеристика (реакция системы на единичный импульс – импульс единичной площади).
Для импульсных сигналов используется дискретное преобразование (в том числе и быстрое) Фурье прямое и обратное.
|
|
N 1 |
|
|
|
X (k ) x(n t)exp( j2 kn / N) |
, |
k=0,N-1 |
|||
|
|
|
n 0 |
|
|
|
1 |
|
N 1 |
|
|
x(n t) |
|
X (k )exp( j2 kn / N) |
, |
n=0,N-1 |
|
|
|
||||
|
N k 0 |
|
|
||
Лекция 9.
Анализ чувствительности, точности и статистический анализ.