Лекция 8 Топологические методы формирования математической модели на макроуровне.
Рассмотрим для примера электрическую схему и ее граф
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
2 |
4 |
2 |
2 |
|
||||
|
|
5 |
4 |
S |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
Топологические матрицы
Узловая матрица
Элемент этой матрицы aij (i –номер строки; j –номер столбца)
равен 1, если ветвь j соединена с узлом i и ориентирована от него, -1, если ориентирована к нему, и 0, если ветвь j не соединена с узлом i .
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
Aн= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
0 |
1 0 1 |
|||||
3 |
|
0 |
1 |
0 |
1 1 0 |
|
||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
||||||
При расчетах один узел (любой) заземляют. Целесообразно в качестве такого узла использовать узел с нулевым потенциалом. Тогда приходим к узловой матрице
А (редуцированной матрице), которая может быть получена из матрицы Aн путем вычеркивания строки, относящейся к заземленному узлу. Например, при вычеркивании строки “2” получим
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
A= 3 |
|
|
||||||
4 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
Число строк матрицы А равно числу независимых уравнений для первого закона Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид:
АI=О
где вектор-столбец токов ветвей
I1 I I2...In
O - нулевая матрица-столбец.
Контурная матрица
Элемент bij матрицы В равен 1, если ветвь j входит в
контур i и ее ориентация совпадает с направлением обхода контура, -1, если не совпадает с направлением обхода контура, и 0, если ветвь j не входит в контур i.
Матрицу В, записанную для главных контуров, называют матрицей главных контуров. За направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура.
Для рассматриваемого примера выберем в качестве покрывающего дерево, образованное ветвями 1-2-3
1
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
II |
|
2 |
I |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
||
|
|
5 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3
III
6
Граф схемы с главными контурами
Составим матрицу главных контуров В.
1 2 3 4 5 6
I
B= II III
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
||||||
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
||||||
Введем вектор-столбец напряжений ветвей
U1 U U2...Un
Второй закон Кирхгофа в матричной форме:
BU = O
Матрица сечений
Матрица Q , составленная для главных сечений, называется матрицей главных сечений.
Элемент qij матрицы Q равен 1, если ветвь входит в i-е
сечение и ориентирована согласно направлению сечения (за положительное направление сечения принимают направление ветви дерева, входящей в него), -1, если ориентирована противоположно направлению сечения, и 0,
если ветвь j не входит в i-е сечение. |
1 |
|
|
1 2 |
3 |
|
4 |
5 6 |
|
|
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
1 1 0 |
|
|||
Q= 2 |
|
|
||||||
3 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
2 |
2 |
|
|
||
S3 |
5 |
4 |
|
|
|
||
|
|
3 |
|
|
|
S2 |
|
6
Для топологических матриц А, В и Q, составленных для одного и того же графа, выполняются соотношения
АВТ= О; QВТ= О,
где О – нулевая матрица
Зная одну из топологических матриц, по ее структуре можно восстановить остальные.